Teoría K de Morava

Teoría de la cohomología

En la teoría de homotopía estable , una rama de las matemáticas , la teoría K de Morava es una de una colección de teorías de cohomología introducidas en topología algebraica por Jack Morava en preimpresiones no publicadas a principios de la década de 1970. Para cada número primo p (que se suprime en la notación), consta de teorías K ( n ) para cada entero no negativo n , cada una de ellas un espectro de anillo en el sentido de la teoría de homotopía . Johnson y Wilson (1975) publicaron el primer relato de las teorías.

Detalles

La teoría K (0) concuerda con la homología singular con coeficientes racionales, mientras que K (1) es un sumando de la teoría K compleja mod- p . La teoría K ( n ) tiene anillo de coeficientes

F _p [ v _n , v _n ⁻¹ ]

donde v _n tiene grado 2( p ⁿ  − 1). En particular, la teoría K de Morava es periódica con este período, de la misma manera que la teoría K compleja tiene período 2.

Estas teorías tienen varias propiedades notables.

• Tienen isomorfismos de Künneth para pares arbitrarios de espacios: es decir, para complejos CW X e Y , tenemos

${\displaystyle K(n)_{*}(X\times Y)\cong K(n)_{*}(X)\otimes _{K(n)_{*}}K(n)_{*}(Y).}$

• Son "campos" de la categoría de espectros en anillo . En otras palabras, cada espectro de módulo sobre K ( n ) es libre, es decir, una cuña de suspensiones de K ( n ).
• Están orientados de forma compleja (al menos después de ser periodificados tomando la suma de cuña de ( p ⁿ  − 1) copias desplazadas), y el grupo formal que definen tiene una altura n .
• Todo espectro p -local finito X tiene la propiedad de que K ( n ) _∗ ( X ) = 0 si y sólo si n es menor que un cierto número N , llamado el tipo del espectro X . Por un teorema de Devinatz– Hopkins –Smith, cada subcategoría gruesa de la categoría de espectros p -locales finitos es la subcategoría de espectros de tipo n para algún n .

Véase también

• Teoría de la homotopía cromática
• Teoría electrónica de Morava

Referencias

• Johnson, David Copeland; Wilson, W. Stephen (1975), "Operaciones de BP y las extraordinarias teorías K de Morava", Math. Z. , 144 (1): 55&minus, 75, doi :10.1007/BF01214408, MR  0377856
• Hovey-Strickland, "Teoría K y localización de Morava"
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable , Annals of Mathematics Studies, vol. 128, Princeton University Press, MR  1192553
• Würgler, Urs (1991), "Morava K-theories: a survey", Topología algebraica Poznan 1989 , Lecture Notes in Math., vol. 1474, Berlín: Springer, págs. 111–138, doi :10.1007/BFb0084741, ISBN 978-3-540-54098-4, Sr.  1133896