Teoría de la cirugía

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la teoría de la cirugía es una colección de técnicas utilizadas para producir una variedad de dimensión finita a partir de otra de una manera "controlada", introducida por John Milnor  (1961). Milnor llamó a esta técnica cirugía , mientras que Andrew Wallace la llamó modificación esférica . ^[1] La "cirugía" en una variedad diferenciable M de dimensión , podría describirse como la eliminación de una esfera incrustada de dimensión p de M . ^[2] Originalmente desarrolladas para variedades diferenciables (o suaves ), las técnicas de cirugía también se aplican a variedades lineales por partes (PL-) y topológicas . ${\displaystyle n=p+q+1}$

La cirugía consiste en cortar partes del colector y reemplazarlas por una parte de otro colector, coincidiendo con el corte o el límite. Esto está estrechamente relacionado con las descomposiciones de cuerpos de manijas , pero no es idéntico a ellas .

Más técnicamente, la idea es empezar con una variedad M bien entendida y realizarle una cirugía para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que se conozcan los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otros invariantes de la variedad. Un argumento relativamente fácil usando la teoría de Morse muestra que una variedad puede obtenerse a partir de otra mediante una secuencia de modificaciones esféricas si y solo si esas dos pertenecen a la misma clase de cobordismo . ^[1]

La clasificación de esferas exóticas de Michel Kervaire y Milnor  (1963) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.

Cirugía en un colector

Una observación básica

Si X , Y son variedades con borde, entonces el borde de la variedad producto es

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

La observación básica que justifica la cirugía es que el espacio puede ser entendido como el límite de o como el límite de . En símbolos, ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$ ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$,

donde es el disco q -dimensional, es decir, el conjunto de puntos en que están a una distancia de uno o menos de un punto fijo dado (el centro del disco); por ejemplo, entonces, es homeomorfo al intervalo unitario, mientras que es un círculo junto con los puntos en su interior. ${\displaystyle D^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle D^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Cirugía

Ahora, dada una variedad M de dimensión y una incrustación , defina otra variedad n -dimensional como ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Dado que y a partir de la ecuación de nuestra observación básica anterior, el pegado está justificado entonces ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

Se dice que la variedad M ′ se produce mediante una cirugía que corta y pega , o mediante una cirugía p si se quiere especificar el número p . Estrictamente hablando, M ′ es una variedad con esquinas, pero hay una forma canónica de suavizarlas. Nótese que la subvariedad que se reemplazó en M era de la misma dimensión que M (era de codimensión 0). ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

Fijación de asas y cobordismos

La cirugía está estrechamente relacionada con (pero no es lo mismo que) la fijación de un mango . Dada una variedad con borde y una incrustación , donde , defina otra variedad con borde L ′ mediante ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (L,\partial L)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

La variedad L ′ se obtiene "colocando un -mango", con obtenido a partir de mediante una p -cirugía ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle \partial L'}$ ${\displaystyle \partial L}$

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Una cirugía sobre M no sólo produce una nueva variedad M ′, sino también un cobordismo W entre M y M ′. La traza de la cirugía es el cobordismo , con ${\displaystyle (W;M,M')}$

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

la variedad -dimensional con límite obtenida del producto al adjuntar un -handle . ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$

La cirugía es simétrica en el sentido de que la variedad M puede ser obtenida nuevamente a partir de M ′ mediante una -cirugía, cuyo trazo coincide con el trazo de la cirugía original, hasta la orientación. ${\displaystyle (q-1)}$

En la mayoría de las aplicaciones, la variedad M viene con una estructura geométrica adicional, como un mapa a algún espacio de referencia o datos de fibrado adicionales. Entonces, se desea que el proceso de cirugía le otorgue a M ′ el mismo tipo de estructura adicional. Por ejemplo, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía sobre mapas normales : un proceso de este tipo cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo.

Ejemplos

1. Cirugía en el círculo

   

   Figura 1

   Según la definición anterior, una cirugía en el círculo consiste en cortar una copia de y pegarla . Las imágenes de la Fig. 1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) otra vez, o (ii) dos copias de . ${\displaystyle S^{0}\times D^{1}}$ ${\displaystyle D^{1}\times S^{0}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

   

   Figura 2a

   

   Figura 2b

2. Cirugía en la 2-esfera

   En este caso hay más posibilidades, ya que podemos empezar recortando cualquiera de los dos o . ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

   1. ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$:Si retiramos un cilindro de la esfera 2, nos quedan dos discos. Tenemos que volver a pegarlos , es decir, dos discos, y está claro que el resultado de hacerlo es que obtenemos dos esferas disjuntas. (Fig. 2a) ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$

      

      Fig. 2c. Esta forma no se puede incrustar en el espacio tridimensional.

   2. ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$: Después de cortar dos discos , los pegamos nuevamente en el cilindro . Hay dos resultados posibles, dependiendo de si nuestras funciones de pegado tienen la misma orientación u opuesta en los dos círculos límite. Si las orientaciones son las mismas (Fig. 2b), la variedad resultante es el toro , pero si son diferentes, obtenemos la botella de Klein (Fig. 2c). ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$
3. Cirugía en la n- esfera

   Si , entonces ${\displaystyle n=p+q}$

   ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   La p -cirugía en ' es por lo tanto ${\displaystyle S^{n}}$

   ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}}$.

   Los ejemplos 1 y 2 anteriores fueron un caso especial de esto.
4. Funciones de Morse Supóngase que f es una función de Morse en una variedad de dimensión ( n  + 1), y supóngase que c es un valor crítico con exactamente un punto crítico en su preimagen. Si el índice de este punto crítico es , entonces el conjunto de niveles se obtiene a partir de mediante una p -cirugía. El bordismo puede identificarse con la traza de esta cirugía. De hecho, en algún diagrama de coordenadas alrededor del punto crítico, la función f tiene la forma , con , y . La figura 3 muestra, en este diagrama local, la variedad M en azul y la variedad M ′ en rojo. La región coloreada entre M y M ′ corresponde al bordismo W . La imagen muestra que W es difeomórfica a la unión ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle M':=f^{-1}(c+\varepsilon )}$ ${\displaystyle M:=f^{-1}(c-\varepsilon )}$ ${\displaystyle W:=f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])}$ ${\displaystyle -\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}}$ ${\displaystyle x\in R^{p+1},y\in R^{q}}$ ${\displaystyle p+q+1=n+1}$

   ${\displaystyle W\cong M\times I\cup _{S^{p}\times D^{q}}D^{p+1}\times D^{q}}$

   (sin tener en cuenta el problema de enderezar las esquinas), donde está coloreada en amarillo, y está coloreada en verde. La variedad M ′, al ser un componente de contorno de W , se obtiene por lo tanto de M mediante una p -cirugía. Dado que cada bordismo entre variedades cerradas tiene una función de Morse donde diferentes puntos críticos tienen diferentes valores críticos, esto demuestra que cualquier bordismo se puede descomponer en trazas de cirugías ( descomposición de cuerpo de asa ). En particular, cada variedad M puede considerarse como un bordismo desde el contorno ∂ M (que puede estar vacío) hasta la variedad vacía, y por lo tanto se puede obtener mediante la unión de asas. ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$ ${\displaystyle \partial M\times I}$

Efectos sobre los grupos de homotopía y comparación con la unión celular

Intuitivamente, el proceso de cirugía es el análogo múltiple de unir una célula a un espacio topológico, donde la incrustación toma el lugar del mapa de unión. Una simple unión de una célula a una variedad n destruiría la estructura de la variedad por razones de dimensión, por lo que debe engrosarse cruzándola con otra célula. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (p+1)}$

Hasta la homotopía, el proceso de cirugía sobre una incrustación puede describirse como la unión de una célula -, dando el tipo de homotopía de la traza, y el desprendimiento de una célula q para obtener N . La necesidad del proceso de desprendimiento puede entenderse como un efecto de la dualidad de Poincaré . ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$ ${\displaystyle (p+1)}$

De la misma manera que una célula puede ser unida a un espacio para matar a un elemento en algún grupo de homotopía del espacio, una p -cirugía en una variedad M puede ser utilizada a menudo para matar a un elemento . Sin embargo, dos puntos son importantes: en primer lugar, el elemento tiene que ser representable por una incrustación (lo que significa incrustar la esfera correspondiente con un fibrado normal trivial ). Por ejemplo, no es posible realizar una cirugía en un bucle de inversión de orientación. En segundo lugar, el efecto del proceso de desprendimiento tiene que ser considerado, ya que también podría tener un efecto en el grupo de homotopía en consideración. En términos generales, este segundo punto solo es importante cuando p es al menos del orden de la mitad de la dimensión de  M . ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$ ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$

Aplicación a la clasificación de variedades

El origen y la principal aplicación de la teoría de la cirugía radica en la clasificación de variedades de dimensión mayor que cuatro. En líneas generales, las cuestiones organizadoras de la teoría de la cirugía son:

• ¿ X es una variedad?
• ¿Es f un difeomorfismo?

De manera más formal, se plantean estas preguntas hasta llegar a la homotopía :

• ¿Tiene un espacio X el tipo de homotopía de una variedad suave de una dimensión dada?
• ¿Es una equivalencia de homotopía entre dos variedades suaves homotópica a un difeomorfismo? ${\displaystyle f\colon M\to N}$

Resulta que la segunda pregunta ("singularidad") es una versión relativa de una pregunta del primer tipo ("existencia"); por lo tanto, ambas preguntas pueden tratarse con los mismos métodos.

Obsérvese que la teoría de la cirugía no proporciona un conjunto completo de invariantes para estas cuestiones. En cambio, es teórica de la obstrucción : hay una obstrucción primaria y una obstrucción secundaria llamada obstrucción quirúrgica , que solo se define si la obstrucción primaria desaparece y que depende de la elección realizada para verificar que la obstrucción primaria desaparece.

El abordaje quirúrgico

En el enfoque clásico, desarrollado por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan y CTC Wall , la cirugía se realiza en mapas normales de grado uno. Usando la cirugía, la pregunta "¿Es el mapa normal de grado uno cobordante a una equivalencia de homotopía?" puede traducirse (en dimensiones mayores que cuatro) a una declaración algebraica sobre algún elemento en un grupo L del anillo de grupo . Más precisamente, la pregunta tiene una respuesta positiva si y solo si la obstrucción de la cirugía es cero, donde n es la dimensión de M. ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Por ejemplo, considere el caso donde la dimensión n = 4k es un múltiplo de cuatro, y . Se sabe que es isomorfo a los enteros ; bajo este isomorfismo la obstrucción quirúrgica de f es proporcional a la diferencia de las firmas de X y M . Por lo tanto, una función normal de grado uno es cobordante a una equivalencia de homotopía si y solo si las firmas de dominio y codominio concuerdan. ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$ ${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

Volviendo a la cuestión de la "existencia" de más arriba, vemos que un espacio X tiene el tipo de homotopía de una variedad lisa si y sólo si recibe una función normal de grado uno cuya obstrucción quirúrgica se desvanece. Esto conduce a un proceso de obstrucción de varios pasos: para hablar de funciones normales, X debe satisfacer una versión apropiada de la dualidad de Poincaré que lo convierte en un complejo de Poincaré . Suponiendo que X es un complejo de Poincaré, la construcción de Pontryagin-Thom muestra que existe una función normal de grado uno a X si y sólo si la fibración normal de Spivak de X tiene una reducción a un fibrado vectorial estable . Si existen funciones normales de grado uno a X , sus clases de bordismo (llamadas invariantes normales ) se clasifican por el conjunto de clases de homotopía . Cada una de estas invariantes normales tiene una obstrucción quirúrgica; X tiene el tipo de homotopía de una variedad lisa si y sólo si una de estas obstrucciones es cero. Dicho de otra manera, esto significa que existe la opción de invariante normal con imagen cero debajo del mapa de obstrucción de la cirugía. ${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

Conjuntos de estructuras y secuencia exacta de cirugía

El concepto de conjunto de estructura es el marco unificador para las cuestiones de existencia y unicidad. En términos generales, el conjunto de estructura de un espacio X consiste en equivalencias de homotopía M → X de alguna variedad a X , donde dos aplicaciones se identifican bajo una relación de tipo bordismo. Una condición necesaria (pero en general no suficiente) para que el conjunto de estructura de un espacio X sea no vacío es que X sea un complejo de Poincaré n -dimensional, es decir, que los grupos de homología y cohomología estén relacionados por isomorfismos de una variedad n -dimensional, para algún entero n . Dependiendo de la definición precisa y la categoría de las variedades ( lisas , PL o topológicas ), existen varias versiones de conjuntos de estructura. Dado que, por el teorema del s-cobordismo , ciertos bordismos entre variedades son isomorfos (en la categoría respectiva) a los cilindros, el concepto de conjunto de estructura permite una clasificación incluso hasta el difeomorfismo . ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

El conjunto de estructura y el mapa de obstrucción de la cirugía se reúnen en la secuencia exacta de la cirugía . Esta secuencia permite determinar el conjunto de estructura de un complejo de Poincaré una vez que se comprende el mapa de obstrucción de la cirugía (y una versión relativa del mismo). En casos importantes, el conjunto de estructura lisa o topológica se puede calcular por medio de la secuencia exacta de la cirugía. Algunos ejemplos son la clasificación de esferas exóticas y las demostraciones de la conjetura de Borel para variedades de curvatura negativa y variedades con grupo fundamental hiperbólico .

En la categoría topológica, la secuencia exacta de cirugía es la secuencia exacta larga inducida por una secuencia de fibración de espectros . Esto implica que todos los conjuntos involucrados en la secuencia son de hecho grupos abelianos. En el nivel de espectro, el mapa de obstrucción de cirugía es un mapa de ensamblaje cuya fibra es el espacio de estructura de bloques de la variedad correspondiente.

Véase también

• teorema del s-cobordismo
• teorema del h-cobordismo
• Torsión de Whitehead
• Cirugía de Dehn
• Descomposición múltiple
• Carácter de orientación
• Plomería (matemáticas)

Citas

1. Milnor 2007, pág. 6.
2. Milnor 2007, pág. 39.

Referencias

• Milnor, John (2007). Documentos recopilados de John Milnor III Topología diferencial . AMS . ISBN 978-0-8218-4230-0.
• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conexas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan , eds. (2000), Encuestas sobre teoría de la cirugía. Vol. 1 (PDF) , Anales de estudios matemáticos, vol. 145, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04938-0, Sr.  1746325
• Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrew; Rosenberg, Jonathan, eds. (2001), Encuestas sobre teoría de la cirugía. Vol. 2 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, vol. 149, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08815-0, Sr.  1818769
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. (1963), "Grupos de esferas de homotopía: I", Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi :10.2307/1970128, JSTOR  1970128, MR  0148075
• Milnor, John Willard (1961), "Un procedimiento para eliminar grupos de homotopía de variedades diferenciables", Proc. Sympos. Pure Math., vol. III , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 39–55, MR  0130696
• Milnor, John Willard (1965), Lecciones sobre el teorema del h-cobordismo , Notas de Laurent Siebenmann y Jonathan Sondow, Princeton University Press , MR  0190942
• Postnikov, Mikail M .; Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cirugía Morse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ranicki, Andrew (1980), "La teoría algebraica de la cirugía. I. Fundamentos" (PDF) , Actas de la London Mathematical Society , 40 (3): 87–192, CiteSeerX  10.1.1.309.4753 , doi :10.1112/plms/s3-40.1.87
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• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica, Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, Sr.  2061749
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía en variedades compactas (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, Sr.  1687388

Enlaces externos

• Teoría de la cirugía para aficionados
• Grupo de estudio teórico de cirugía de Edimburgo
• Seminario de Oberwolfach 2012 sobre teoría de la cirugía en el proyecto Atlas de Manifold
• Seminario de bloques de Ratisbona 2012 sobre teoría de la cirugía en el proyecto Atlas de Manifold
• Notas de la clase de cirugía de Harvard de Jacob Lurie de 2011
• Página de inicio de Andrew Ranicki
• Página de inicio de Shmuel Weinberger