Circunferencia

Perímetro de un círculo o elipse

  circunferencia C

  diámetro D

  radio R

  centro u origen O

Circunferencia = π × diámetro = 2 π × radio.

En geometría , la circunferencia (del latín circumferens , que significa "que lleva alrededor") es el perímetro de un círculo o una elipse . La circunferencia es la longitud del arco del círculo, como si se abriera y se enderezara hasta convertirse en un segmento de línea . ^[1] De manera más general, el perímetro es la longitud de la curva alrededor de cualquier figura cerrada. La circunferencia también puede referirse al círculo en sí, es decir, al lugar geométrico correspondiente al borde de un disco .La circunferencia de una esfera es la circunferencia o longitud de cualquiera de suscírculos máximos.

Círculo

La circunferencia de un círculo es la distancia que lo rodea, pero si, como en muchos tratamientos elementales, la distancia se define en términos de líneas rectas, esto no puede usarse como definición. En estas circunstancias, la circunferencia de un círculo puede definirse como el límite de los perímetros de polígonos regulares inscritos a medida que el número de lados aumenta sin límite. ^[2] El término circunferencia se utiliza al medir objetos físicos, así como al considerar formas geométricas abstractas.

Cuando el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia es ${\displaystyle \pi .}$

Cuando el radio de un círculo es 1 (llamado círculo unitario ), su circunferencia es ${\displaystyle 2\pi .}$

Relación conπ

La circunferencia de un círculo está relacionada con una de las constantes matemáticas más importantes . Esta constante , pi , se representa con la letra griega Sus primeros dígitos decimales son 3,141592653589793... ^[3] Pi se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d:}$ $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

O, equivalentemente, como la relación entre la circunferencia y el doble del radio . La fórmula anterior se puede reorganizar para obtener la circunferencia: $${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

La relación entre la circunferencia del círculo y su radio es equivalente a . ^[a] Este es también el número de radianes en una vuelta . El uso de la constante matemática π es omnipresente en matemáticas, ingeniería y ciencia. ${\displaystyle 2\pi }$

En Medición de un círculo escrito alrededor del año 250 a. C., Arquímedes demostró que esta relación (escrita como π ya que no utilizó el nombre ) era mayor que 3 . ${\displaystyle C/d,}$10/71⁠ pero menos de 3 ⁠1/7⁠ calculando los perímetros de un polígono regular inscrito y circunscrito de 96 lados. ^[8] Este método para aproximar π se utilizó durante siglos, obteniéndose más precisión al utilizar polígonos de mayor y mayor número de lados. El último cálculo de este tipo lo realizó en 1630 Christoph Grienberger, que utilizó polígonos con 10 ⁴⁰ lados.

Elipse

Círculo y elipses con la misma circunferencia.

Algunos autores utilizan la circunferencia para denotar el perímetro de una elipse. No existe una fórmula general para la circunferencia de una elipse en términos de los semiejes mayor y menor de la elipse que utilice solo funciones elementales. Sin embargo, existen fórmulas aproximadas en términos de estos parámetros. Una de esas aproximaciones, debida a Euler (1773), para la elipse canónica , es Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son: ^[9] $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ $${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$ ${\displaystyle a\geq b}$ $${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$ $${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$ $${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor. ${\displaystyle 2\pi a}$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

La circunferencia de una elipse se puede expresar exactamente en términos de la integral elíptica completa de segundo tipo . ^[10] Más precisamente, donde es la longitud del semieje mayor y es la excentricidad. $${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Véase también

• Longitud del arco  : distancia a lo largo de una curva
• Área  – Tamaño de una superficie bidimensional
• Circungono  – Figura geométrica que circunscribe un círculo.
• Desigualdad isoperimétrica  – Desigualdad geométrica
• Radio equivalente al perímetro  : radio de un círculo o esfera equivalente a un objeto no circular o no esféricoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. La letra griega 𝜏 (tau) se utiliza a veces para representar esta constante . Esta notación se acepta en varias calculadoras en línea ^[4] y en muchos lenguajes de programación. ^{[5] [6] [7]}

Referencias

1. Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas / Un enfoque de razonamiento cuantitativo (3.ª ed.), Addison-Wesley, pág. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
2. Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman and Co., pág. 565, ISBN 0-7167-0456-0
3. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000796". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
4. "Funciones admitidas". help.desmos.com . Archivado desde el original el 2023-03-26 . Consultado el 2024-10-21 .
5. "matemáticas — Funciones matemáticas". Documentación de Python 3.7.0 . Archivado desde el original el 29 de julio de 2019. Consultado el 5 de agosto de 2019 .
6. "Clase de matemáticas". Documentación de Java 19 .
7. "std::f64::consts::TAU - Rust". doc.rust-lang.org . Archivado desde el original el 2023-07-18 . Consultado el 2024-10-21 .
8. Katz, Victor J. (1998), Una historia de las matemáticas / Una introducción (2.ª ed.), Addison-Wesley Longman, pág. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
9. Jameson, GJO (2014). "Desigualdades para el perímetro de una elipse". Mathematical Gazette . 98 (499): 227–234. doi :10.2307/3621497. JSTOR  3621497. S2CID  126427943.
10. Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, la media aritmético-geométrica, las elipses, π y el diario de una dama", American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi :10.2307/2323302, JSTOR  2323302, MR  0966232, S2CID  119810884

Enlaces externos

• Numericana - Circunferencia de una elipse