Fórmula de Euler-Rodrigues

En matemáticas y mecánica , la fórmula de Euler-Rodrigues describe la rotación de un vector en tres dimensiones. Se basa en la fórmula de rotación de Rodrigues , pero utiliza una parametrización diferente.

La rotación se describe mediante cuatro parámetros de Euler debido a Leonhard Euler . La fórmula de rotación de Rodrigues (nombrada en honor a Olinde Rodrigues ), un método para calcular la posición de un punto rotado, se utiliza en algunas aplicaciones de software, como simuladores de vuelo y juegos de computadora .

Definición

Una rotación alrededor del origen está representada por cuatro números reales, a ,  b ,  c ,  d tales que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Cuando se aplica la rotación, un punto en la posición x → gira a su nueva posición, ^[1]

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

Formulación vectorial

El parámetro a puede denominarse parámetro escalar y ω → = ( ​​b, c, d ) parámetro vectorial . En la notación vectorial estándar, la fórmula de rotación de Rodrigues adopta la forma compacta ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}$

Simetría

Los parámetros ( a ,  b ,  c ,  d ) y (− a , − b , − c , − d ) describen la misma rotación. Aparte de esta simetría, cada conjunto de cuatro parámetros describe una rotación única en el espacio tridimensional.

Composición de rotaciones

La composición de dos rotaciones es en sí misma una rotación. Sean ( a ₁ ,  b ₁ ,  c ₁ ,  d ₁ ) y ( a ₂ ,  b ₂ ,  c ₂ ,  d ₂ ) los parámetros de Euler de dos rotaciones. Los parámetros para la rotación compuesta (rotación 2 después de la rotación 1) son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}}$

Es sencillo, aunque tedioso, comprobar que a ² + b ² + c ² + d ² = 1. (Esta es esencialmente la identidad de cuatro cuadrados de Euler , también utilizada por Rodrigues).

Ángulo de rotación y eje de rotación

Cualquier rotación central en tres dimensiones está determinada únicamente por su eje de rotación (representado por un vector unitario k → = ( ​​k _x , k _y , k _z ) ) y el ángulo de rotación φ . Los parámetros de Euler para esta rotación se calculan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}$

Nótese que si φ se incrementa en una rotación completa de 360 ​​grados, los argumentos de seno y coseno solo aumentan en 180 grados. Los parámetros resultantes son los opuestos de los valores originales, (− a , − b , − c , − d ) ; representan la misma rotación.

En particular, la transformación de identidad (rotación nula, φ = 0 ) corresponde a valores de parámetros ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . Las rotaciones de 180 grados sobre cualquier eje dan como resultado a = 0 .

Conexión con cuaterniones

Los parámetros de Euler pueden considerarse como los coeficientes de un cuaternión ; el parámetro escalar a es la parte real, los parámetros vectoriales b , c y d son las partes imaginarias. Por lo tanto, tenemos el cuaternión.

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$

que es un cuaternión de longitud unitaria (o versor ) ya que

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Lo más importante es que las ecuaciones anteriores para la composición de rotaciones son precisamente las ecuaciones para la multiplicación de cuaterniones . En otras palabras, el grupo de cuaterniones unitarios con multiplicación, módulo el signo negativo, es isomorfo al grupo de rotaciones con composición. ${\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}$

Conexión con matrices de espín SU(2)

El grupo de Lie SU(2) se puede utilizar para representar rotaciones tridimensionales en matrices complejas de 2 × 2. La matriz SU(2) correspondiente a una rotación, en términos de sus parámetros de Euler, es

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}$

que puede escribirse como la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$

donde σ _i son las matrices de espín de Pauli .

La rotación se da por , lo cual se puede confirmar multiplicando por , lo que da como resultado la fórmula de Euler-Rodrigues como se indicó anteriormente. ${\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}$

Así, los parámetros de Euler son las coordenadas reales e imaginarias en una matriz SU(2) correspondiente a un elemento del grupo de espín Spin(3), que se corresponde mediante una aplicación de doble recubrimiento con una rotación en el grupo ortogonal SO(3). Esto se realiza como la única representación tridimensional irreducible del grupo de Lie SU(2) ≈ Spin(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Parámetros de Cayley-Klein

Los elementos de la matriz se conocen como parámetros de Cayley-Klein , en honor a los matemáticos Arthur Cayley y Felix Klein , ^[a] ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}}$

En términos de estos parámetros, la fórmula de Euler-Rodrigues también puede escribirse ^{[2] [6] [a]}

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

Klein y Sommerfeld utilizaron ampliamente los parámetros en relación con las transformaciones de Möbius y las relaciones cruzadas en su discusión de la dinámica del giroscopio. ^{[3] [7]}

Véase también

• Formalismos de rotación en tres dimensiones
• Cuaterniones y rotación espacial
• Versor
• Espinores en tres dimensiones
• SO(4)
• Grupo de rotación 3D
• Modelo Beltrami-Klein (modelo Cayley-Klein)
• Métrica de Cayley-Klein

Notas

1. Goldstein (1980) ^[2] considera una transformación pasiva ( contravariante o "alias"), en lugar de la transformación activa (covariante o "alibi") aquí. Por lo tanto,
   su matriz corresponde a la transpuesta de la matriz de Euler-Rodrigues dada al comienzo de este artículo, o, equivalentemente, a la matriz de Euler-Rodrigues para una rotación activa de en lugar de . Teniendo esto en cuenta, es evidente que sus , , y en la ecuación 4-67 (p.153) son iguales a , , y aquí. Sin embargo, sus , , , y , los elementos de su matriz , corresponden a los elementos de la matriz aquí, en lugar de a la matriz . Esto da entonces su parametrización ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U^{\dagger }}$ ${\displaystyle U}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}}$

   En consecuencia, mientras que su fórmula (4-64) es idéntica símbolo por símbolo a la matriz de transformación dada aquí, utilizando sus definiciones para , , , y da su matriz , mientras que las definiciones basadas en la matriz anterior conducen a la matriz de Euler-Rodrigues (activa) presentada aquí. Pennestrì et al (2016) ^[3] definen de manera similar sus , , , y en términos de la matriz pasiva en lugar de la matriz activa . La parametrización aquí concuerda con la utilizada, por ejemplo, en Sakurai y Napolitano (2020), ^[4] p. 165, y Altmann (1986), ^[5] eqn. 5 p. 113 / eqn. 9 p. 117. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$
   ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$
   

Lectura adicional

• Cartan, Élie (1981). La teoría de los espinores . Dover. ISBN 0-486-64070-1.
• Hamilton, WR (1899). Elementos de los cuaterniones . Cambridge University Press.
• Haug, EJ (1984). Análisis y optimización asistidos por computadora de la dinámica de sistemas mecánicos . Springer-Verlag.
• Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (junio de 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" (PDF) . Revista Mexicana de Física (en español): 109–113. Archivado desde el original (pdf) el 23 de abril de 2012.
• Shuster, Malcolm D. (1993). "Un estudio de las representaciones de actitudes" (PDF) . Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (4): 439–517.
• Dai, Jian S. (octubre de 2015). "Variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues, conjugación de cuaterniones y conexiones intrínsecas". Mecanismo y teoría de máquinas . 92 : 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .

Referencias

1. p. ej. Felix Klein (1897), La teoría matemática del trompo , Nueva York: Scribner. p.4
2. Goldstein, H. (1980), "Los parámetros de Cayley-Klein y magnitudes relacionadas". §4-5 en Mecánica clásica , 2.ª ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pág. 153
3. E. Pennestrì, PP Valentini, G. Figliolini, J. Angeles (2016), "Parámetros duales de Cayley-Klein y transformada de Möbius: teoría y aplicaciones", Mechanism and Machine Theory 106 (enero): 50-67. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008. pdf disponible a través de ResearchGate
4. Sakurai, JJ ; Napolitano, Jim (2020). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge. ISBN 978-1-108-47322-4.OCLC 1202949320  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Altmann, S. (1986), Rotaciones, cuaterniones y grupos dobles . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855372-2 
6. Weisstein, Eric W. , Parámetros de Cayley-Klein, MathWorld . Consultado el 10 de mayo de 2024.
7. Felix Klein y Arnold Sommerfeld , Über die Theorie des Kreisels , vol 1. (Teubner, 1897). Traducido (2008) como: La teoría de la cima , vol 1. Boston: Birkhauser. ISBN 0817647201