Modelo Beltrami-Klein

Modelo de geometría hiperbólica.

Muchas líneas hiperbólicas que pasan por el punto P no intersecan a la línea a en el modelo de Beltrami Klein

Un mosaico triheptagonal hiperbólico en una proyección del modelo Beltrami-Klein

En geometría, el modelo de Beltrami-Klein , también llamado modelo proyectivo , modelo de disco de Klein y modelo de Cayley-Klein , es un modelo de geometría hiperbólica en el que los puntos están representados por los puntos en el interior del disco unitario (o n bola unitaria de dimensión ) y las líneas están representadas por las cuerdas , segmentos de línea recta con puntos finales ideales en la esfera límite .

El modelo Beltrami-Klein lleva el nombre del geómetra italiano Eugenio Beltrami y el alemán Felix Klein, mientras que "Cayley" en el modelo Cayley-Klein se refiere al geómetra inglés Arthur Cayley .

El modelo de Beltrami-Klein es análogo a la proyección gnomónica de la geometría esférica , en el sentido de que las geodésicas ( grandes círculos en geometría esférica) se asignan a líneas rectas.

Este modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos y círculos están distorsionados, mientras que el modelo de disco de Poincaré los conserva.

En este modelo, las líneas y los segmentos son segmentos euclidianos rectos, mientras que en el modelo de disco de Poincaré , las líneas son arcos que cruzan el límite ortogonalmente .

Historia

Este modelo hizo su primera aparición para la geometría hiperbólica en dos memorias de Eugenio Beltrami publicadas en 1868, primero para la dimensión n = 2 y luego para la n general , estos ensayos demostraron la equiconsistencia de la geometría hiperbólica con la geometría euclidiana ordinaria . ^{[1] [2] [3]}

Los artículos de Beltrami pasaron desapercibidos hasta hace poco y el modelo recibió el nombre de Klein ("El modelo de disco de Klein"). Esto sucedió de la siguiente manera. En 1859, Arthur Cayley utilizó la definición de ángulo de razón cruzada debida a Laguerre para mostrar cómo se podía definir la geometría euclidiana utilizando la geometría proyectiva . ^[4] Su definición de distancia más tarde se conoció como la métrica de Cayley .

En 1869, el joven Felix Klein (de veinte años) conoció el trabajo de Cayley. Recordó que en 1870 dio una charla sobre la obra de Cayley en el seminario de Weierstrass y escribió:

"Terminé con una pregunta sobre si podría existir una conexión entre las ideas de Cayley y Lobachevsky . Me dieron la respuesta de que estos dos sistemas estaban conceptualmente muy separados". ^[5]

Más tarde, Felix Klein se dio cuenta de que las ideas de Cayley dan lugar a un modelo proyectivo del plano no euclidiano. ^[6]

Como dice Klein: "Me dejé convencer por estas objeciones y dejé de lado esta idea ya madura". Sin embargo, en 1871 volvió a esta idea, la formuló matemáticamente y la publicó. ^[7]

Fórmula de distancia

La función de distancia para el modelo de Beltrami-Klein es una métrica de Cayley-Klein . Dados dos puntos distintos p y q en la bola unitaria abierta, la única línea recta que los conecta corta el límite en dos puntos ideales , a y b , etiquételos de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b , para que | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces: ${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}}$

Las barras verticales indican distancias euclidianas entre los puntos del modelo, donde ln es el logaritmo natural y se necesita el factor de la mitad para darle al modelo la curvatura estándar de −1.

Cuando uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r, entonces la distancia hiperbólica es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,}$

donde artanh es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica .

El modelo del disco de Klein

Líneas en el modelo proyectivo del plano hiperbólico.

En dos dimensiones el modelo de Beltrami-Klein se denomina modelo de disco de Klein . Es un disco y el interior del disco es un modelo de todo el plano hiperbólico . Las líneas en este modelo están representadas por cuerdas del círculo límite (también llamado absoluto ). Los puntos sobre el círculo límite se llaman puntos ideales ; aunque están bien definidos , no pertenecen al plano hiperbólico. Tampoco lo hacen los puntos fuera del disco, que a veces se denominan puntos ultra ideales .

El modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos están distorsionados y los círculos en el plano hiperbólico , en general, no son circulares en el modelo. Sólo los círculos que tienen su centro en el centro del círculo límite no se distorsionan. Todos los demás círculos están distorsionados, al igual que los horociclos y los hiperciclos.

Propiedades

Las cuerdas que se encuentran en el círculo límite son líneas paralelas limitantes .

Dos cuerdas son perpendiculares si, al extenderse fuera del disco, cada una pasa por el polo de la otra. (El polo de una cuerda es un punto ultraideal: el punto fuera del disco donde se encuentran las tangentes al disco en los puntos finales de la cuerda). Las cuerdas que pasan por el centro del disco tienen su polo en el infinito, ortogonal al dirección de la cuerda (esto implica que los ángulos rectos de los diámetros no están distorsionados).

Construcciones con compás y regla

Así es como se pueden utilizar construcciones con compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico .

• El polo de una línea . Si bien el polo no es un punto en el plano hiperbólico (es un punto ultraideal ), la mayoría de las construcciones utilizarán el polo de una línea de una o más maneras.

Para una línea: construye las tangentes al círculo límite a través de los puntos ideales (finales) de la línea. el punto donde se cruzan estas tangentes es el polo.

Para diámetros del disco: el polo está en el infinito perpendicular al diámetro.

• Para construir una perpendicular a una línea dada que pasa por un punto dado, dibuje el rayo desde el polo de la línea que pasa por el punto dado. La parte del rayo que queda dentro del disco es la perpendicular.

Cuando la línea es un diámetro del disco, entonces la perpendicular es la cuerda que es (euclidiana) perpendicular a ese diámetro y pasa por el punto dado.

• Para encontrar el punto medio de un segmento dado : Dibuja las líneas que pasan por A y B y que son perpendiculares a . (ver arriba) Dibuja las líneas que conectan los puntos ideales de estas líneas, dos de estas líneas se cruzarán con el segmento y lo harán en el mismo punto. Este punto es el punto medio (hiperbólico) de . ^[8] ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$
• Para bisectar un ángulo dado : Dibuja los rayos AB y AC. Dibuja tangentes al círculo donde los rayos se cruzan con el círculo límite. Traza una recta desde A hasta el punto donde se cruzan las tangentes. La parte de esta línea entre A y el círculo límite es la bisectriz. ^[9] ${\displaystyle \angle BAC}$
• La perpendicular común de dos rectas es la cuerda que al extenderse pasa por ambos polos de las cuerdas.

Cuando una de las cuerdas es un diámetro del círculo límite entonces la perpendicular común es la cuerda que es perpendicular al diámetro y que al alargarse pasa por el polo de la otra cuerda.

• Para reflejar un punto P en una línea l : Desde un punto R en la línea l, dibuje el rayo que pasa por P. Sea X el punto ideal donde el rayo corta el absoluto. Dibuje el rayo desde el polo de la línea l hasta X, sea Y otro punto ideal que interseca el rayo. Dibuja el segmento RY. La reflexión del punto P es el punto donde el rayo que sale del polo de la recta l y pasa por P corta a RY. ^[10]

Círculos, hiperciclos y horociclos.

Círculos en el modelo de geometría hiperbólica de Klein-Beltrami.

Si bien las líneas en el plano hiperbólico son fáciles de dibujar en el modelo de disco de Klein, no ocurre lo mismo con los círculos, los hiperciclos y los horociclos .

Los círculos (el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia determinada de un punto determinado, su centro) en el modelo se convierten en elipses cada vez más aplanadas a medida que se acercan al borde. También los ángulos en el modelo de disco de Klein están deformados.

Para construcciones en el plano hiperbólico que contienen círculos, hiperciclos , horociclos o ángulos no rectos es mejor utilizar el modelo de disco de Poincaré o el modelo de semiplano de Poincaré .

Relación con el modelo de disco de Poincaré

Proyecciones combinadas del modelo de disco de Klein (amarillo) al modelo de disco de Poincaré (rojo) a través del modelo de hemisferio (azul)

El modelo Beltrami-Klein (K en la imagen) es una proyección ortográfica del modelo hemisférico y una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con el centro del hiperboloide (O) como centro.

Tanto el modelo de disco de Poincaré como el modelo de disco de Klein son modelos del plano hiperbólico. Una ventaja del modelo de disco de Poincaré es que es conforme (los círculos y ángulos no están distorsionados); una desventaja es que las líneas de la geometría son arcos circulares ortogonales al círculo límite del disco.

Los dos modelos se relacionan a través de una proyección sobre o desde el modelo del hemisferio . El modelo de Klein es una proyección ortográfica al modelo de hemisferio mientras que el modelo de disco de Poincaré es una proyección estereográfica .

Al proyectar las mismas líneas en ambos modelos sobre un mismo disco ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales . (los puntos ideales permanecen en el mismo lugar) además el polo de la cuerda es el centro del círculo que contiene el arco .

Si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo de Beltrami-Klein, entonces el punto correspondiente en el disco de Poincaré modela una distancia de u en el mismo radio: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s^{2}}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}{s}}.}$

Por el contrario, si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein está a una distancia de s en el mismo radio: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u^{2}}}.}$

Relación del modelo de disco con el modelo hiperboloide.

Tanto el modelo hiperboloide como el modelo del disco de Klein son modelos del plano hiperbólico.

El disco de Klein (K, en la imagen) es una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con como centro el centro del hiperboloide (O) y el plano de proyección tangente al punto más cercano del hiperboloide. ^[11]

Tensor de distancia y métrica

El panal dodecaédrico hiperbólico regular , {5,3,4}

Dados dos puntos distintos U y V en la bola unitaria abierta del modelo en el espacio euclidiano , la única línea recta que los conecta intersecta la esfera unitaria en dos puntos ideales A y B , etiquetados de modo que los puntos, en orden a lo largo de la línea, sean A , U , V , B . Tomando como origen el centro de la bola unitaria del modelo, y asignando vectores de posición u , v , a , b respectivamente a los puntos U , V , A , B , tenemos que ‖ a − v ‖ > ‖ a − u ‖ y ‖ u − b ‖ > ‖ v − b ‖ , donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana . Entonces la distancia entre U y V en el espacio hiperbólico modelado se expresa como

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left\|\mathbf {v} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {u} \right\|}{\left\|\mathbf {u} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {v} \right\|}},}$

donde se necesita el factor de la mitad para hacer la curvatura  −1.

El tensor métrico asociado viene dado por ^{[12] [13]}

${\displaystyle ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}}{1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2})\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

Relación con el modelo hiperboloide

Mosaico hiperbólico {7,3} parcial del hiperboloide como se ve en la perspectiva de Beltrami-Klein.

Animación del mosaico hiperbólico {7,3} parcial del hiperboloide que gira en la perspectiva de Beltrami-Klein.

El modelo hiperboloide es un modelo de geometría hiperbólica dentro del espacio de Minkowski ( n + 1) -dimensional . El producto interno de Minkowski está dado por

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,}$

y la norma por . El plano hiperbólico está incrustado en este espacio como los vectores x con ‖ x ‖ = 1 y x ₀ (el "componente temporal") positivos. La distancia intrínseca (en la incrustación) entre los puntos u y v viene dada por ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).}$

Esto también se puede escribir en forma homogénea.

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} }{\left\|\mathbf {u} \right\|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {v} \right\|}}\right),}$

lo que permite reescalar los vectores por conveniencia.

El modelo de Beltrami-Klein se obtiene a partir del modelo hiperboloide reescalando todos los vectores para que la componente temporal sea 1, es decir, proyectando el hiperboloide incrustado a través del origen en el plano x ₀ = 1 . La función distancia, en su forma homogénea, no cambia. Dado que las líneas intrínsecas (geodésicas) del modelo hiperboloide son la intersección de la incrustación con planos que pasan por el origen de Minkowski, las líneas intrínsecas del modelo de Beltrami-Klein son las cuerdas de la esfera.

Relación con el modelo de bola de Poincaré

Tanto el modelo de bola de Poincaré como el modelo de Beltrami-Klein son modelos del espacio hiperbólico de n dimensiones en la bola unitaria de n dimensiones en R ⁿ . Si un vector de norma es menor que uno que representa un punto del modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein viene dado por ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$

Por el contrario, a partir de un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo de disco de Poincaré viene dado por ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$

Dados dos puntos en el límite del disco unitario, que tradicionalmente se denominan puntos ideales , la línea recta que los conecta en el modelo de Beltrami-Klein es la cuerda entre ellos, mientras que en el modelo de Poincaré correspondiente la línea es un arco circular en los dos -subespacio dimensional generado por los dos vectores de puntos límite, que se encuentran con el límite de la bola en ángulo recto. Los dos modelos se relacionan a través de una proyección desde el centro del disco; un rayo desde el centro que pasa por un punto de una línea del modelo pasa por el punto correspondiente de la línea en el otro modelo.

Ver también

• Modelo de semiplano de Poincaré
• Modelo de disco de Poincaré
• Métrica de Poincaré
• Geometría inversa

Notas

1. Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche . VI : 285–315.
2. Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fundamentale degli spazii di curvatura costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Serie II. 2 : 232–255. doi :10.1007/BF02419615. S2CID  120773141.
3. Stillwell, John (1999). Fuentes de geometría hiperbólica (2. ed. impresa). Providencia: sociedad matemática estadounidense. págs. 7–62. ISBN 0821809229.
4. Cayley, Arturo (1859). "Una sexta memoria sobre cuántica". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 159 : 61–91. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
5. Klein, Félix (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Parte 1 . Saltador. pag. 152.
6. Klein, Félix (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Annalen Matemáticas . 4 (4): 573–625. doi :10.1007/BF02100583.
7. Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Saltador . ISBN 978-3-642-30993-9.
8. caja de herramientas hiperbólica
9. caja de herramientas hiperbólica
10. Greenberg, Marvin Jay (2003). Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (3ª ed.). Nueva York: Freeman. págs. 272-273. ISBN 9780716724469.
11. Hwang, Andrew D. "Analogía de la proyección de geometría esférica e hiperbólica". Intercambio de pila . Consultado el 1 de enero de 2017 .
12. Cañón JW; WJ Floyd; R. Kenyon; WR Parry. "Geometría hiperbólica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 1 de noviembre de 2020.
13. respuesta de Stack Exchange

Referencias

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas , EUDEBA.
• Stahl, Saul (2007), Una puerta de entrada a la geometría moderna: el semiplano de Poincaré (2ª ed.), Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5381-8
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009), "Diagramas hiperbólicos de Voronoi simplificados", Conferencia internacional de 2010 sobre ciencia computacional y sus aplicaciones , págs. 74–80, arXiv : 0903.3287 , doi :10.1109/ICCSA.2010.37, ISBN 978-1-4244-6461-6, S2CID  14129082