Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)

Condición para que un operador lineal esté abierto

En análisis funcional , el teorema de mapeo abierto , también conocido como teorema de Banach-Schauder o teorema de Banach ^[1] (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal acotado o continuo entre Banach los espacios son sobreyectivos , entonces es un mapa abierto .

Forma clásica (espacio de Banach)

Teorema de mapeo abierto para espacios de Banach  (Rudin 1973, Teorema 2.11)  :  si y son espacios de Banach y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces es un mapeo abierto (es decir, si es un conjunto abierto en entonces está abierto en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Esta prueba utiliza el teorema de la categoría de Baire y la integridad de ambos es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es cierto si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio vectorial normado , pero es cierto si y se consideran espacios de Fréchet . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Resultados relacionados

Teorema ^[2]  -  Sea y espacios de Banach, sea y denote sus bolas unitarias abiertas y sea un operador lineal acotado. Si entonces entre las siguientes cuatro afirmaciones tenemos (con el mismo ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B_{X}}$ ${\displaystyle B_{Y}}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle (1)\implies (2)\implies (3)\implies (4)}$ ${\displaystyle \delta }$

1. ${\displaystyle \left\|T^{*}y^{*}\right\|\geq \delta \left\|y^{*}\right\|}$para todos ; ${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$
2. ${\displaystyle {\overline {T\left(B_{X}\right)}}\supseteq \delta B_{Y}}$;
3. ${\displaystyle {T\left(B_{X}\right)}\supseteq \delta B_{Y}}$;
4. ${\displaystyle \operatorname {Im} T=Y}$(es decir, es sobreyectivo). ${\displaystyle T}$

Además, si es sobreyectivo entonces (1) se cumple para algunos ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta >0}$

Consecuencias

El teorema de mapeo abierto tiene varias consecuencias importantes:

• Si es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach y entonces el operador inverso también es continuo (esto se llama teorema inverso acotado ). ^[3] ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A^{-1}:Y\to X}$
• If es un operador lineal entre los espacios de Banach y y si para cada secuencia en con y se deduce que entonces es continua (el teorema del grafo cerrado ). ^[4] ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle Ax_{n}\to y}$ ${\displaystyle y=0,}$ ${\displaystyle A}$

Generalizaciones

La convexidad local de o  no es esencial para la demostración, pero la completitud sí lo es: el teorema sigue siendo verdadero en el caso en que y sean espacios F. Además, el teorema se puede combinar con el teorema de la categoría de Baire de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema de mapeo abierto para mapas continuos ^{[5] [6]}  -  Sea un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo a un TVS de Hausdorff. Si no es exiguo, entonces es un mapa abierto (sobreyectivo) y es un TVS pseudometrizable completo. Además, si se supone que es hausdorff (es decir, un espacio F ), entonces también es un espacio F. ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Además, en este último caso, si es el núcleo de entonces hay una factorización canónica de en la forma ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$

espacio cociente?isomorfismoespacios vectoriales topológicos^[7] ${\displaystyle X/N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X\to X/N}$ ${\displaystyle \alpha }$

Un caso especial importante de este teorema también se puede expresar como

Teorema ^[8] —  Sean  y dos espacios F. Entonces cada mapa lineal continuo de on es un homomorfismo TVS , donde un mapa lineal es un homomorfismo del espacio vectorial topológico (TVS) si el mapa inducido es un isomorfismo TVS en su imagen. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y}$

Por otra parte, se puede dar una formulación más general, que implica la primera:

Teorema de mapeo abierto ^[6]  :  Sea un mapa lineal sobreyectivo de un TVS pseudometrizable completo a un TVS y supongamos que se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle Y}$es un espacio de Baire , o
2. ${\displaystyle X}$es localmente convexo y es un espacio en forma de barril , ${\displaystyle Y}$

Si es un operador lineal cerrado entonces es un mapeo abierto. Si es un operador lineal continuo y es Hausdorff, entonces es (un operador lineal cerrado y, por tanto, también) un mapeo abierto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$

Mapas lineales casi/casi abiertos

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se llama ${\displaystyle A:X\to Y}$mapa casi abierto (o, a veces, un mapa casi abierto ) si para cada vecindaddel origen en el dominio, el cierre de su imagenes una vecindad del origen en^[9] Muchos autores utilizan una definición diferente de "casi/casi abierto mapa" que requiere que el cierre desea una vecindad del origen enlugar de en^[9]pero para mapas sobreyectivos estas definiciones son equivalentes. Una aplicación lineal biyectiva es casi abierta si y sólo si su inversa es continua. ^[9]Cada mapa lineal sobreyectivo desdeTVS localmente convexoa unTVS de cañónestá casi abierto. ^[10]Lo mismo ocurre con cada mapa lineal sobreyectivo de un TVS a unde Baire. ^[10] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle Y,}$

Teorema de mapeo abierto ^[11]  :  si un mapa lineal sobreyectivo cerrado de un TVS pseudometrizable completo a un TVS de Hausdorff está casi abierto, entonces está abierto.

Consecuencias

Teorema ^[12]  -  Si hay una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable (TVS) completo en un TVS de Hausdorff que es un espacio de Baire , entonces es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo de TVS). ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

Espacios palmeados

Los espacios palmeados son una clase de espacios vectoriales topológicos para los cuales se cumplen el teorema de mapeo abierto y el teorema del gráfico cerrado .

Ver también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de la inversa acotada
• Gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema del gráfico cerrado  : teorema que relaciona la continuidad con los gráficos
• Teorema de gráfico cerrado (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de gráficos
• Teorema de mapeo abierto (análisis complejo)  : teorema de que las funciones holomorfas en dominios complejos son mapas abiertosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Teorema de Ursescu  : generalización de grafo cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme
• Espacio palmeado  : espacio donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráfico cerrado

Referencias

1. Tréves 2006, pag. 166.
2. Rudin 1991, pag. 100.
3. Rudin 1973, Corolario 2.12.
4. Rudin 1973, Teorema 2.15.
5. Rudin 1991, Teorema 2.11.
6. Narici y Beckenstein 2011, pag. 468.
7. Dieudonné 1970, 16.12.8.
8. Tréves 2006, pag. 170
9. Narici y Beckenstein 2011, págs.466.
10. Narici y Beckenstein 2011, págs.467.
11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 466-468.
12. Narici y Beckenstein 2011, pag. 469.

Bibliografía

• Adasch, Norberto; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 639. Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias sobre Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Conway, Juan (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Dieudonné, Jean (1970), Tratado de análisis, volumen II , Academic Press
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Rudin, Walter (1973). Análisis funcional . Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 25 (Primera ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 9780070542259.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Swartz, Charles (1992). Una introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

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