Problema del subespacio invariante

Problema parcialmente no resuelto en matemáticas

El vector es un vector propio de la matriz . Cada operador en un espacio vectorial complejo no trivial de dimensión finita tiene un vector propio, que resuelve el problema del subespacio invariante para estos espacios. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

En el campo de las matemáticas conocido como análisis funcional , el problema del subespacio invariante es un problema parcialmente no resuelto que plantea la pregunta de si cada operador acotado en un espacio de Banach complejo envía algún subespacio cerrado no trivial a sí mismo. Se han resuelto muchas variantes del problema, restringiendo la clase de operadores acotados considerados o especificando una clase particular de espacios de Banach. El problema sigue abierto para los espacios de Hilbert separables (en otras palabras, cada ejemplo, encontrado hasta ahora, de un operador sin subespacios invariantes no triviales es un operador que actúa en un espacio de Banach que no es isomorfo a un espacio de Hilbert separable).

Historia

El problema parece haber sido planteado a mediados del siglo XX después del trabajo de Beurling y von Neumann , ^[1] quienes encontraron (pero nunca publicaron) una solución positiva para el caso de operadores compactos . Luego fue planteado por Paul Halmos para el caso de operadores tales que es compacto. Esto fue resuelto afirmativamente, para la clase más general de operadores polinomialmente compactos (operadores tales que es un operador compacto para un polinomio distinto de cero adecuadamente elegido ), por Allen R. Bernstein y Abraham Robinson en 1966 (ver Análisis no estándar § Problema del subespacio invariante para un resumen de la prueba). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p(T)}$ ${\displaystyle p}$

En el caso de los espacios de Banach , el primer ejemplo de un operador sin un subespacio invariante fue construido por Per Enflo . Propuso un contraejemplo al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un esquema en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981 y la complejidad y extensión del artículo retrasaron su publicación hasta 1987 ^[2]. El largo "manuscrito" de Enflo tuvo una circulación mundial entre los matemáticos ^[1] y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones además de Enflo (1976). ^[3] Los trabajos de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin un subespacio invariante, por ejemplo, por Bernard Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo. ^[2]

En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque "constructivo" para el problema del subespacio invariante en los espacios de Hilbert. ^[4]

En mayo de 2023, apareció una preimpresión de Enflo en arXiv, ^[5] que, si es correcta, resuelve el problema de los espacios de Hilbert y completa el panorama.

En julio de 2023, apareció una segunda preimpresión independiente de Neville en arXiv, ^[6] que afirmaba la solución del problema para espacios de Hilbert separables.

En septiembre de 2024, un artículo revisado por pares publicado en la revista Axioms por un equipo de cuatro investigadores académicos jordanos anunció que habían resuelto el problema del subespacio invariante. ^[7]

Declaración precisa

Formalmente, el problema del subespacio invariante para un espacio de Banach complejo de dimensión  > 1 es la cuestión de si cada operador lineal acotado tiene un subespacio cerrado -invariante no trivial : un subespacio lineal cerrado de , que es diferente de y de , tal que . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T(W)\subset W}$

Una respuesta negativa al problema está estrechamente relacionada con las propiedades de las órbitas . Si es un elemento del espacio de Banach , la órbita de bajo la acción de , denotada por , es el subespacio generado por la secuencia . Esto también se llama subespacio -cíclico generado por . De la definición se deduce que es un subespacio -invariante. Además, es el subespacio -invariante mínimo que contiene a : si es otro subespacio invariante que contiene a , entonces necesariamente para todo (ya que es -invariante), y por lo tanto . Si es distinto de cero, entonces no es igual a , por lo que su clausura es todo el espacio (en cuyo caso se dice que es un vector cíclico para ) o es un subespacio -invariante no trivial. Por lo tanto, un contraejemplo del problema del subespacio invariante sería un espacio de Banach y un operador acotado para el cual cada vector distinto de cero es un vector cíclico para . (Donde un "vector cíclico" para un operador en un espacio de Banach significa uno para el cual la órbita de es densa en .) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{n}(x)\in W}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [x]\subset W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$

Casos especiales conocidos

Si bien el caso del problema del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables aún está abierto, se han resuelto varios otros casos para espacios vectoriales topológicos (sobre el campo de números complejos):

• Para espacios vectoriales complejos de dimensión finita, cada operador admite un vector propio, por lo que tiene un subespacio invariante unidimensional.
• La conjetura es verdadera si el espacio de Hilbert no es separable (es decir, si tiene una base ortonormal incontable ). De hecho, si es un vector distinto de cero en , la clausura normativa de la órbita lineal es separable (por construcción) y, por lo tanto, un subespacio propio y también invariante. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [x]}$
• von Neumann demostró ^[8] que cualquier operador compacto en un espacio de Hilbert de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante no trivial.
• El teorema espectral muestra que todos los operadores normales admiten subespacios invariantes.
• Aronszajn y Smith (1954) demostraron que cada operador compacto en cualquier espacio de Banach de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante.
• Bernstein y Robinson (1966) demostraron mediante análisis no estándar que si el operador en un espacio de Hilbert es polinomialmente compacto (en otras palabras, es compacto para algún polinomio distinto de cero ), entonces tiene un subespacio invariante. Su prueba utiliza la idea original de incrustar el espacio de Hilbert de dimensión infinita en un espacio de Hilbert de dimensión hiperfinita (véase Análisis no estándar#Problema del subespacio invariante ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p(T)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$
• Halmos (1966), después de haber visto la preimpresión de Robinson, eliminó el análisis no estándar y proporcionó una prueba más corta en el mismo número de la misma revista.
• Lomonosov (1973) dio una prueba muy breve utilizando el teorema del punto fijo de Schauder de que si el operador en un espacio de Banach conmuta con un operador compacto distinto de cero, entonces tiene un subespacio invariante no trivial. Esto incluye el caso de operadores polinomialmente compactos porque un operador conmuta con cualquier polinomio en sí mismo. De manera más general, demostró que si conmuta con un operador no escalar que conmuta con un operador compacto distinto de cero, entonces tiene un subespacio invariante. ^[9] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$
• El primer ejemplo de un operador en un espacio de Banach sin subespacios invariantes no triviales fue encontrado por Per Enflo  (1976, 1987), y su ejemplo fue simplificado por Beauzamy (1985).
• El primer contraejemplo en un espacio de Banach "clásico" fue encontrado por Charles Read  (1984, 1985), quien describió un operador en el espacio de Banach clásico sin subespacios invariantes. ${\displaystyle l_{1}}$
• Posteriormente Charles Read  (1988) construyó un operador sobre sin ni siquiera un subconjunto invariante cerrado no trivial , es decir que para cada vector el conjunto es denso, en cuyo caso el vector se llama hipercíclico (la diferencia con el caso de los vectores cíclicos es que no estamos tomando el subespacio generado por los puntos en este caso). ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$
• Atzmon (1983) dio un ejemplo de un operador sin subespacios invariantes en un espacio nuclear de Fréchet .
• Śliwa (2008) demostró que cualquier espacio de Banach de dimensión infinita de tipo numerable sobre un cuerpo no arquimediano admite un operador lineal acotado sin un subespacio invariante cerrado no trivial. Esto resuelve completamente la versión no arquimediana de este problema, planteada por van Rooij y Schikhof en 1992.
• Argyros y Haydon (2011) dieron la construcción de un espacio de Banach de dimensión infinita tal que cada operador continuo es la suma de un operador compacto y un operador escalar, por lo que en particular cada operador tiene un subespacio invariante.

Notas

1. Yadav (2005), pág. 292.
2. Beauzamy (1988); Yadav (2005).
3. Véase, por ejemplo, Radjavi y Rosenthal (1982).
4. Página 401 en Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). "Sobre operadores cuasinilpotentes. III". Journal of Operator Theory . 54 (2): 401–414.El método de Enflo de "vectores mínimos" ("hacia adelante") también se menciona en la revisión de este artículo de investigación de Gilles Cassier en Mathematical Reviews : MR 2186363
5. Enflo, Per H. (26 de mayo de 2023). "Sobre el problema del subespacio invariante en los espacios de Hilbert". arXiv : 2305.15442 [math.FA].
6. Neville, Charles W. (21 de julio de 2023). "una prueba de la conjetura del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables". arXiv : 2307.08176 [math.FA].
7. Khalil, Roshdi; Yousef, Abdelrahman; Alshanti, Waseem Ghazi; Hammad, Ma'mon Abu (2 de septiembre de 2024). "El problema del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables". Axiomas . 13 (9): 598. doi : 10.3390/axiomas13090598 . ISSN  2075-1680.
8. La prueba de von Neumann nunca se publicó, como se informó en una comunicación privada a los autores de Aronszajn y Smith (1954). Una versión de esa prueba, descubierta independientemente por Aronszajn, se incluye al final de ese artículo.
9. Véase Pearcy & Shields (1974) para una reseña.

Referencias

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