Subespacio cíclico

En matemáticas , en álgebra lineal y en análisis funcional , un subespacio cíclico es un subespacio especial determinado de un espacio vectorial asociado a un vector en el espacio vectorial y a una transformación lineal del espacio vectorial. El subespacio cíclico asociado a un vector v en un espacio vectorial V y a una transformación lineal T de V se denomina subespacio T -cíclico generado por v . El concepto de subespacio cíclico es un componente básico en la formulación del teorema de descomposición cíclica en álgebra lineal.

Definición

Sea una transformación lineal de un espacio vectorial y sea un vector en . El subespacio -cíclico de generado por , denotado , es el subespacio de generado por el conjunto de vectores . En el caso cuando es un espacio vectorial topológico , se llama vector cíclico para si es denso en . Para el caso particular de espacios de dimensión finita , esto es equivalente a decir que es todo el espacio . ^[1] ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$

Existe otra definición equivalente de espacios cíclicos. Sea una transformación lineal de un espacio vectorial topológico sobre un cuerpo y un vector en . El conjunto de todos los vectores de la forma , donde es un polinomio en el anillo de todos los polinomios en sobre , es el subespacio -cíclico generado por . ^[1] ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g(T)v}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$

El subespacio es un subespacio invariante para , en el sentido de que . ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle TZ(v;T)\subset Z(v;T)}$

Ejemplos

1. Para cualquier espacio vectorial y cualquier operador lineal en , el subespacio -cíclico generado por el vector cero es el subespacio cero de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$
2. Si es el operador identidad entonces cada subespacio -cíclico es unidimensional. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
3. ${\displaystyle Z(v;T)}$es unidimensional si y sólo si es un vector característico (vector propio) de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$
4. Sea el espacio vectorial bidimensional y sea el operador lineal en representado por la matriz relativa a la base ordenada estándar de . Sea . Entonces . Por lo tanto y por lo tanto . Por lo tanto es un vector cíclico para . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots }$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle Z(v;T)=V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

Matriz de acompañamiento

Sea una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión 1 sobre un cuerpo y un vector cíclico para . Entonces los vectores ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}}$

Formar una base ordenada para . Sea el polinomio característico para ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$.

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, en relación a la base ordenada , el operador está representado por la matriz ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

Esta matriz se llama matriz compañera del polinomio . ^[1] ${\displaystyle p(x)}$

Véase también

• Matriz de acompañamiento
• Subespacio de Krylov

Enlaces externos

• PlanetMath: subespacio cíclico

Referencias

1. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). Álgebra lineal (2.ª ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. pág. 227. ISBN 9780135367971.Sr. 0276251  .