Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa ^[1] (o álgebra distributiva ) es un álgebra sobre un campo donde no se supone que la operación de multiplicación binaria sea asociativa . Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un campo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una K - operación de multiplicación binaria bilineal A × A → A que puede ser asociativa o no. Los ejemplos incluyen las álgebras de Lie , las álgebras de Jordan , los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipado con la operación del producto cruzado . Como no se supone que la multiplicación sea asociativa, es necesario utilizar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d y a ( b ( cd )) pueden producir respuestas diferentes.

Si bien este uso de no asociativo significa que no se asume la asociatividad, no significa que no se permita la asociatividad. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", del mismo modo que "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para los anillos no conmutativos .

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento identidad e con ex = x = xe para todo x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitales, pero las álgebras de Lie nunca lo son.

La estructura del álgebra no asociativa de A se puede estudiar asociándola con otras álgebras asociativas que son subálgebras del álgebra completa de K - endomorfismos de A como un K -espacio vectorial. Dos de ellas son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) , siendo esta última en cierto sentido "la álgebra asociativa más pequeña que contiene A ".

De manera más general, algunos autores consideran el concepto de álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R : un módulo R equipado con una operación de multiplicación binaria bilineal R. ^[2] Si una estructura obedece a todos los axiomas de los anillos aparte de la asociatividad (por ejemplo, cualquier R -álgebra), entonces es naturalmente un -álgebra, por lo que algunos autores se refieren a las -álgebras no asociativas como anillos no asociativos . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Álgebras que satisfacen identidades

Las estructuras en forma de anillo con dos operaciones binarias y sin otras restricciones son una clase amplia, demasiado general para estudiarla. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades o propiedades que simplifican un poco la multiplicación. Estos incluyen los siguientes.

Propiedades habituales

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra $A$ sobre el campo $K$ . Dejemos que las potencias de un entero positivo (distinto de cero) se definan recursivamente por $x 1 ≝ x$ y $x n +1 ≝ x n x$ ^[3] (potencias derechas) o $x n +1 ≝ xx n$ ^[4]^[5] ( poderes de izquierda) dependiendo de los autores.

Unital : existe un elemento $e$ tal que $ex = x = xe$ ; en ese caso podemos definir $x 0 ≝ e$ .
Asociativo : $(xy) z = x (yz)$ .
Conmutativo : $xy = yx$ .
Anticonmutativo : ^[6] $xy = - yx$ .
Identidad de Jacobi : ^[6]^[7] $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ o $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ según los autores.
Identidad de Jordan : ^[8]^[9] $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ o $(xy) x 2 = x (yx 2)$ según los autores.
Alternativa : ^[10]^[11]^[12] $(xx) y = x (xy)$ (alternativa izquierda) y $(yx) x = y (xx)$ (alternativa derecha).
Flexibles : ^[13]^[14] $(xy) x = x (yx)$ .
n ésima potencia asociativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ para todos los enteros k de modo que 0 < k < n .
- Asociativo de tercera potencia: $x 2 x = xx 2$ .
- Asociativo de cuarta potencia: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (compárese con el conmutativo de cuarta potencia a continuación).
Asociativo de potencia : ^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa, es decir, $n-$ ésimo poder asociativo para todo $n \geq 2$ .
n ésima potencia conmutativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k para todos los enteros k de modo que 0 < k < n .
- Tercera potencia conmutativa: $x 2 x = xx 2$ .
- Cuarta potencia conmutativa: $x 3 x = xx 3$ (compárese con la cuarta potencia asociativa anterior).
Potencia conmutativa: la subálgebra generada por cualquier elemento es conmutativa, es decir, $n$ -ésima potencia conmutativa para todo $n \geq 2$ .
Nilpotente de índice $n \geq 2$ : el producto de $n$ elementos cualesquiera, en cualquier asociación, desaparece, pero no para algunos $n -1$ elementos: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ y existen $n -1$ elementos de modo que $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ para una asociación específica.
Nulo de índice $n \geq 2$ : potencia asociativa y $x n = 0$ y existe un elemento $y$ tal que $y n -1 \neq 0$ .

Relaciones entre propiedades

Para $K$ de cualquier característica :

Asociativo implica alternativa .
Dos de las tres propiedades left Alternative , right Alternative y flexible implican la tercera.
- Por tanto, alternativa implica flexible .
"Alternativa implica identidad jordana" . ^[17]^[un]
Conmutativo implica flexible .
Anticonmutativo implica flexible .
Alternativa implica poder asociativo . ^[a]
Flexible implica tercer poder asociativo .
El asociativo de segunda potencia y el conmutativo de segunda potencia siempre son verdaderos.
El asociativo de tercera potencia y el conmutativo de tercera potencia son equivalentes.
$n-$ ésima potencia asociativa implica $n-$ ésima potencia conmutativa .
Nulo de índice 2 implica anticonmutativo .
Nulo del índice 2 implica la identidad de Jordan .
Nilpotente de índice 3 implica identidad de Jacobi .
Nilpotente de índice $n$ implica nulo de índice $N$ con $2 \leq N \leq n$ .
Unital y nil del índice $n$ son incompatibles.

Si $K \neq GF(2)$ o $tenue(A) \leq 3$ :

La identidad jordana y la conmutativa juntas implican poder asociativo . ^[18]^[19]^[20]^{[ cita necesaria ]}

Si $char(K) \neq 2$ :

La alternativa correcta implica poder asociativo . ^[21]^[22]^[23]^[24]
- De manera similar, la alternativa de izquierda implica poder asociativo .
"La identidad de Unital y Jordan juntas implica flexibilidad ". ^[25]
"Identidad jordana y flexibilidad juntas implican poder asociativo" . ^[26]
Conmutativo y anticommutativo juntos implican nilpotente de índice 2 .
Anticonmutativo implica nulo de índice 2 .
Unital y anticonmutativo son incompatibles.

Si $char(K) \neq 3$ :

Las identidades Unital y Jacobi son incompatibles.

Si $char(K) \notin {2,3,5$ }:

Conmutativo y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen el asociativo de cuarta potencia ) juntos implican asociativo de potencia . ^[27]

Si $carácter (K) = 0$ :

Asociativo de tercer poder y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen el asociativo de cuarto poder ) juntos implican asociativo de poder . ^[28]

Si $carbón (K) = 2$ :

Conmutativo y anticommutativo son equivalentes.

asociado

El asociador en A es el K - mapa multilineal dado por $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

Mide el grado de no asociatividad de y puede usarse para expresar convenientemente algunas posibles identidades satisfechas por A. $A$

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra.

Asociativo: $[x, y, z] = 0$ .
Alternativa: [ x , x , y ] = 0 (alternativa izquierda) y [ y , x , x ] = 0 (alternativa derecha).
- Implica que permutar dos términos cualesquiera cambia el signo: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ; lo contrario se cumple sólo si $char(K) \neq 2$ .
Flexible: [ x , y , x ] = 0 .
- Implica que permutar los términos extremos cambia el signo: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; lo contrario se cumple sólo si $char(K) \neq 2$ .
Identidad de Jordan: ^[29] $[x 2, y, x] = 0$ o $[x, y, x 2] = 0$ según los autores.
Asociativo de tercera potencia: $[x, x, x] = 0$ .

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: ^[30] es decir, el $n$ en A tal que

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

El núcleo es un subanillo asociativo de A.

Centro

El centro de A es el conjunto de elementos que conmutan y asocian con todo en A , es decir, la intersección de

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

con el núcleo. Resulta que para elementos de C(A) basta que dos de los conjuntos sean para que el tercero también sea el conjunto cero. $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ $\{0\}$

Ejemplos

El espacio euclidiano R ³ con multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra que es anticonmutativa y no asociativa. El producto cruzado también satisface la identidad de Jacobi.
Las álgebras de Lie son álgebras que satisfacen la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi.
Álgebras de campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C ) o una variedad algebraica (para K general );
Las álgebras de Jordan son álgebras que satisfacen la ley conmutativa y la identidad de Jordan. ^[9]
Todo álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie utilizando el conmutador como soporte de Lie. De hecho, cada álgebra de Lie puede construirse de esta manera o es una subálgebra de un álgebra de Lie construida de esta manera.
Cada álgebra asociativa sobre un campo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan al definir una nueva multiplicación x*y = ( xy + yx )/2. A diferencia del caso del álgebra de Lie, no todas las álgebras de Jordan pueden construirse de esta manera. Los que pueden se llaman especiales .
Las álgebras alternativas son álgebras que satisfacen la propiedad alternativa. Los ejemplos más importantes de álgebras alternativas son los octoniones (un álgebra sobre los reales) y las generalizaciones de los octoniones sobre otros campos. Todas las álgebras asociativas son alternativas. Hasta el isomorfismo, la única alternativa real de dimensión finita, las álgebras de división (ver más abajo) son los reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
Álgebras asociativas de poder , son aquellas álgebras que satisfacen la identidad asociativa de poder. Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, las álgebras de Jordan sobre un campo distinto de GF(2) (ver sección anterior) y los sedeniones .
El álgebra hiperbólica de cuaterniones sobre R , que era un álgebra experimental antes de la adopción del espacio de Minkowski para la relatividad especial .

Más clases de álgebras:

Álgebras graduadas . Éstos incluyen la mayoría de las álgebras de interés para el álgebra multilineal , como el álgebra tensorial , el álgebra simétrica y el álgebra exterior sobre un espacio vectorial determinado . Las álgebras graduadas se pueden generalizar a álgebras filtradas .
Álgebras de división , en las que existen inversos multiplicativos. Se han clasificado las álgebras de división alternativa de dimensión finita sobre el cuerpo de números reales. Son los números reales (dimensión 1), los números complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). Los cuaterniones y octoniones no son conmutativos. De estas álgebras, todas son asociativas excepto los octoniones.
Álgebras cuadráticas , que requieren que xx = re + sx , para algunos elementos r y s en el campo fundamental, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas de dimensión finita y el álgebra de matrices reales de 2 por 2. Hasta el isomorfismo, las únicas álgebras reales cuadráticas alternativas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.
Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R ), que comienzan con:
- C (un álgebra conmutativa y asociativa);
- los cuaterniones H (un álgebra asociativa);
- los octoniones (un álgebra alternativa );
- los sedeniones y la secuencia infinita de álgebras de Cayley-Dickson ( álgebras asociativas de potencia ).
Las álgebras hipercomplejas son todas R -álgebras unitales de dimensión finita , por lo que incluyen álgebras de Cayley-Dickson y muchas más.
En la cuantificación geométrica se consideran las álgebras de Poisson . Llevan dos multiplicaciones, convirtiéndolas en álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diferentes maneras.
Las álgebras genéticas son álgebras no asociativas utilizadas en genética matemática.
Sistemas triples

Propiedades

Hay varias propiedades que pueden resultar familiares de la teoría de anillos o de las álgebras asociativas, que no siempre son ciertas para las álgebras no asociativas. A diferencia del caso asociativo, los elementos con un inverso multiplicativo (de dos lados) también pueden ser un divisor de cero . Por ejemplo, todos los elementos distintos de cero de los sedeniones tienen un inverso de dos lados, pero algunos de ellos también son divisores de cero.

Álgebra no asociativa libre

El álgebra libre no asociativa en un conjunto X sobre un campo K se define como el álgebra con base que consta de todos los monomios no asociativos, productos formales finitos de elementos de X que conservan paréntesis. El producto de monomios u , v es simplemente ( u )( v ). El álgebra es unital si se toma el producto vacío como un monomio. ^[31]

Kurosh demostró que toda subálgebra de un álgebra libre no asociativa es libre. ^[32]

Álgebras asociadas

Un álgebra A sobre un campo K es en particular un K -espacio vectorial y, por lo tanto, se puede considerar el álgebra asociativa End _K ( A ) del K -espacio vectorial lineal endomorfismo de A . Podemos asociar a la estructura del álgebra sobre A dos subálgebras de End _K ( A ), el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) .

Álgebra de derivación

Una derivación sobre A es una aplicación D con la propiedad

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Las derivaciones en A forman un subespacio Der _K ( A ) en End _K ( A ). El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, de modo que el paréntesis de Lie le da a Der _K ( A ) una estructura de álgebra de Lie . ^[33]

álgebra envolvente

Hay mapas lineales L y R adjuntos a cada elemento a de un álgebra A : ^[34]

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

El álgebra envolvente asociativa o álgebra de multiplicación de A es el álgebra asociativa generada por los mapas lineales izquierdo y derecho. ^[29]^[35] El centroide de A es el centralizador del álgebra envolvente en el álgebra de endomorfismo End _K ( A ). Un álgebra es central si su centroide consta de los K múltiplos escalares de la identidad. ^[dieciséis]

Algunas de las posibles identidades satisfechas por álgebras no asociativas pueden expresarse convenientemente en términos de aplicaciones lineales: ^[36]

Conmutativo: cada L ( a ) es igual a la correspondiente R ( a );
Asociativo: cualquier L conmuta con cualquier R ;
Flexible: cada L ( a ) conmuta con el correspondiente R ( a );
Jordania: cada L ( a ) conmuta con R ( a ² );
Alternativa: cada L ( a ) ² = L ( a ² ) y lo mismo para la derecha.

La representación cuadrática Q está definida por ^[37]

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

o equivalente,

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

El artículo sobre álgebras envolventes universales describe la construcción canónica de álgebras envolventes, así como los teoremas de tipo PBW para ellas. Para las álgebras de Lie, estas álgebras envolventes tienen una propiedad universal, que no se cumple, en general, para las álgebras no asociativas. El ejemplo más conocido es quizás el álgebra de Albert , un álgebra de Jordan excepcional que no está envuelta por la construcción canónica del álgebra envolvente para las álgebras de Jordan.

Ver también

Lista de álgebras
Magmas conmutativos no asociativos , que dan lugar a álgebras no asociativas

Citas

^ Schafer 1995, Capítulo 1.
^ Schafer 1995, pág. 1.
^ ab Albert 1948a, pág. 553.
^ ab Schafer 1995, pág. 30.
^ ab Schafer 1995, pág. 128.
^ ab Schafer 1995, pág. 3.
^ Okubo 2005, pag. 12.
^ Schafer 1995, pág. 91.
^ ab Okubo 2005, pág. 13.
^ Schäfer 1995, pág. 5.
^ Okubo 2005, pag. 18.
^ McCrimmon 2004, pag. 153.
^ Schafer 1995, pág. 28.
^ Okubo 2005, pag. dieciséis.
^ Okubo 2005, pag. 17.
^ ab Knus et al. 1998, pág. 451.
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^ Zhevlakov y col. 1982, pág. 343.
^ Schäfer 1995, pág. 148.
^ Bremner, Murakami y Shestakov 2013, pág. 18.
^ Bremner, Murakami y Shestakov 2013, págs. 18-19, hecho 6.
^ Alberto 1948a, pag. 554, lema 4.
^ Alberto 1948a, pag. 554, lema 3.
^ ab Schafer 1995, pág. 14.
^ McCrimmon 2004, pag. 56.
^ Rowen 2008, pag. 321.
^ Kurosh 1947, págs. 237-262.
^ Schafer 1995, pág. 4.
^ Okubo 2005, pag. 24.
^ Alberto 2003, pag. 113.
^ McCrimmon 2004, pag. 57.
^ Koecher 1999, pag. 57.

Notas

^ ab Se desprende del teorema de Artin .

Referencias

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