Álgebra nilpotente

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un álgebra nilpotente sobre un anillo conmutativo es un álgebra sobre un anillo conmutativo , en la que para algún entero positivo n todo producto que contenga al menos n elementos del álgebra es cero. El concepto de álgebra de Lie nilpotente tiene una definición diferente, que depende del corchete de Lie . (No hay corchete de Lie para muchas álgebras sobre anillos conmutativos; un álgebra de Lie implica su corchete de Lie, mientras que no hay ningún corchete de Lie definido en el caso general de un álgebra sobre un anillo conmutativo). Otra posible fuente de confusión en la terminología es el álgebra nilpotente cuántica , ^[1] un concepto relacionado con los grupos cuánticos y las álgebras de Hopf .

Definición formal

Un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo se define como un álgebra nilpotente si y solo si existe algún entero positivo tal que para todo en el álgebra . El más pequeño de ellos se denomina índice del álgebra . ^[2] En el caso de un álgebra no asociativa , la definición es que cada asociación multiplicativa diferente de los elementos es cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0=y_{1}\ y_{2}\ \cdots \ y_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Álgebra nula

Un álgebra asociativa de potencia en la que cada elemento del álgebra es nilpotente se denomina álgebra nil . ^[3]

Las álgebras nilpotentes son trivialmente nulas, mientras que las álgebras nil pueden no ser nilpotentes, ya que el hecho de que cada elemento sea nilpotente no obliga a que los productos de elementos distintos desaparezcan.

Véase también

• Estructura algebraica (un término mucho más general)
• Álgebra de Nil-Coxeter
• Álgebra de Lie
• Ejemplo de álgebra no asociativa

Referencias

1. Goodearl, KR; Yakimov, MT (1 de noviembre de 2013). "Automorfismos unipotentes y de Nakayama de álgebras cuánticas nilpotentes". arXiv : 1311.0278 [math.QA].
2. Albert, A. Adrian (2003) [1939]. "Capítulo 2: Ideales y álgebras nilpotentes". Estructura de las álgebras . Colloquium Publications, Col. 24. Amer. Math. Soc. p. 22. ISBN 0-8218-1024-3. ISSN  0065-9258; reimpresión con correcciones de la edición revisada de 1961{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
3. Álgebra nula – Enciclopedia de Matemáticas

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556

Enlaces externos

• Álgebra nilpotente – Enciclopedia de Matemáticas