Construcción Cayley-Dickson

Método para producir álgebras de composición.

En matemáticas , la construcción Cayley-Dickson , llamada así en honor a Arthur Cayley y Leonard Eugene Dickson , produce una secuencia de álgebras sobre el cuerpo de números reales , cada una con el doble de dimensión que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso se conocen como álgebras de Cayley-Dickson , por ejemplo, números complejos , cuaterniones y octoniones . Estos ejemplos son álgebras de composición útiles que se aplican con frecuencia en física matemática .

La construcción de Cayley-Dickson define una nueva álgebra como un producto cartesiano de un álgebra consigo misma, con la multiplicación definida de una manera específica (diferente de la multiplicación por componentes ) y una involución conocida como conjugación . El producto de un elemento y su conjugado (o a veces la raíz cuadrada de este producto) se llama norma .

Las simetrías del campo real desaparecen a medida que se aplica repetidamente la construcción de Cayley-Dickson: primero perdiendo orden , luego conmutatividad de la multiplicación, asociatividad de la multiplicación y finalmente alternatividad .

De manera más general, la construcción de Cayley-Dickson lleva cualquier álgebra con involución a otra álgebra con involución del doble de la dimensión. ^{[1] : 45}

El teorema de Hurwitz (álgebras de composición) establece que los reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son las únicas álgebras de división ( normadas ) (sobre los números reales).

Sinopsis

La construcción de Cayley-Dickson se debe a que Leonard Dickson mostró en 1919 cómo los octoniones se pueden construir como un álgebra bidimensional sobre cuaterniones . De hecho, comenzando con un campo F , la construcción produce una secuencia de F -álgebras de dimensión 2 ⁿ . Para n = 2 es un álgebra asociativa llamada álgebra de cuaterniones , y para n = 3 es un álgebra alternativa llamada álgebra de octoniones . Estos casos n = 1, 2 y 3 producen álgebras de composición como se muestra a continuación.

El caso n = 1 comienza con los elementos ( a , b ) en F × F y define el conjugado ( a , b )* como ( a *, – b ) donde a * = a en el caso n = 1, y posteriormente se determina por la fórmula. La esencia del álgebra F radica en la definición del producto de dos elementos ( a , b ) y ( c , d ):

${\displaystyle (a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Proposición 1: Para y el conjugado del producto es ${\displaystyle z=(a,b)}$ ${\displaystyle w=(c,d),}$ ${\displaystyle w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.}$

prueba: ${\displaystyle (c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.}$

Proposición 2: Si el álgebra F es asociativa y , entonces ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$ ${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w).}$

prueba: + términos que se anulan por la propiedad asociativa. ${\displaystyle N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})}$

Etapas en la construcción de álgebras reales.

Los detalles de la construcción de las álgebras reales clásicas son los siguientes:

Números complejos como pares ordenados

Los números complejos se pueden escribir como pares ordenados ( a , b ) de números reales a y b , siendo el operador de suma componente por componente y con la multiplicación definida por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,}$

Un número complejo cuyo segundo componente es cero está asociado a un número real: el número complejo ( a , 0) está asociado al número real  a .

El conjugado complejo ( a , b )* de ( a , b ) viene dado por

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)}$

ya que a es un número real y es su propio conjugado.

El conjugado tiene la propiedad de que

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,}$

que es un número real no negativo. De esta manera, la conjugación define una norma , haciendo de los números complejos un espacio vectorial normado sobre los números reales: la norma de un número complejo  z es

${\displaystyle |z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,}$

Además, para cualquier número complejo z distinto de cero  , la conjugación da un inverso multiplicativo ,

${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.}$

Como un número complejo consta de dos números reales independientes, forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.

Además de ser de dimensión superior, se puede decir que los números complejos carecen de una propiedad algebraica de los números reales: un número real es su propio conjugado.

Cuaterniones

Gráfico Cayley Q8 de multiplicación de cuaterniones que muestra ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul). En el archivo SVG, coloque el cursor sobre una ruta o haga clic en ella para resaltarla.

El siguiente paso en la construcción es generalizar las operaciones de multiplicación y conjugación.

Forme pares ordenados ( a , b ) de números complejos a y b , con la multiplicación definida por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,}$

Son posibles ligeras variaciones de esta fórmula; las construcciones resultantes producirán estructuras idénticas hasta los signos de las bases.

El orden de los factores parece extraño ahora, pero será importante en el próximo paso.

Defina el conjugado ( a , b )* de ( a , b ) por

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,}$

Estos operadores son extensiones directas de sus análogos complejos: si a y b se toman del subconjunto real de números complejos, la aparición del conjugado en las fórmulas no tiene ningún efecto, por lo que los operadores son los mismos que los de los números complejos.

El producto de un elemento distinto de cero por su conjugado es un número real no negativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\right).\,\end{aligned}}}$

Como antes, el conjugado produce una norma y una inversa para cualquier par ordenado. Entonces, en el sentido que explicamos anteriormente, estos pares constituyen un álgebra similar a los números reales. Son los cuaterniones , nombrados por Hamilton en 1843.

Como un cuaternión consta de dos números complejos independientes, forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre los números reales.

Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es exactamente igual a la multiplicación de números reales; no es conmutativo , es decir, si p y q son cuaterniones, no siempre es cierto que pq = qp .

Octoniones

Todos los pasos para crear más álgebras son los mismos a partir de los octoniones.

Esta vez, forma pares ordenados ( p , q ) de cuaterniones p y q , con la multiplicación y conjugación definidas exactamente como para los cuaterniones:

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,}$

Tenga en cuenta, sin embargo, que debido a que los cuaterniones no son conmutativos, el orden de los factores en la fórmula de multiplicación se vuelve importante: si el último factor en la fórmula de multiplicación fuera r * q en lugar de qr * , la fórmula para multiplicar un elemento por su conjugado no daría un número real.

Exactamente por las mismas razones que antes, el operador de conjugación produce una norma y un inverso multiplicativo de cualquier elemento distinto de cero.

Esta álgebra fue descubierta por John T. Graves en 1843 y se llama octoniones o " números de Cayley ".

Como un octonión consta de dos cuaterniones independientes, forman un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre los números reales.

La multiplicación de octoniones es aún más extraña que la de cuaterniones; además de ser no conmutativo, no es asociativo , es decir, si p , q y r son octoniones, no siempre es cierto que ( pq ) r = p ( qr ) .

Debido a esta no asociatividad, los octoniones no tienen representación matricial .

Más álgebras

El álgebra que sigue inmediatamente a los octoniones se llama sedeniones . Conserva una propiedad algebraica llamada asociatividad de poder , lo que significa que si s es un sedenion, s ⁿ s ^m = s ^{n  +  m} , pero pierde la propiedad de ser un álgebra alternativa y, por tanto, no puede ser un álgebra de composición .

La construcción de Cayley-Dickson se puede llevar a cabo hasta el infinito , produciendo en cada paso un álgebra asociativa de potencias cuya dimensión es el doble que la del álgebra del paso anterior. Todas las álgebras generadas de esta manera sobre un campo son cuadráticas : es decir, cada elemento satisface una ecuación cuadrática con coeficientes del campo. ^{[1] : 50}

En 1954, RD Schafer examinó las álgebras generadas por el proceso de Cayley-Dickson sobre un campo F y demostró que satisfacen la identidad flexible . ^[2] También demostró que cualquier álgebra de derivación de un álgebra de Cayley-Dickson es isomorfa al álgebra de derivación de números de Cayley, un álgebra de Lie de 14 dimensiones sobre F. ^{[ cita necesaria ]}

Construcción Cayley-Dickson modificada

La construcción de Cayley-Dickson, a partir de los números reales , genera las álgebras de composición (los números complejos ), (los cuaterniones ) y (los octoniones ). También existen álgebras de composición cuya norma es una forma cuadrática isotrópica , las cuales se obtienen mediante una ligera modificación, reemplazando el signo menos en la definición del producto de pares ordenados por un signo más, de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

$${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).}$$

Cuando se aplica esta construcción modificada , se obtienen los números complejos divididos , que son isomorfos en anillo al producto directo, después de eso, se obtienen los cuaterniones divididos , un álgebra asociativa isomorfa a la de las matrices reales de 2 × 2 ; y los octoniones divididos , que son isomorfos a Zorn( R ) . La aplicación de la construcción original de Cayley-Dickson a los complejos divididos también da como resultado los cuaterniones divididos y luego los octoniones divididos. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ;}$

Construcción general Cayley-Dickson

Albert (1942, p. 171) dio una ligera generalización, definiendo el producto y la involución en B = A ⊕ A para A, un álgebra con involución (con ( xy )* = y * x * ) como

${\displaystyle {\begin{aligned}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{aligned}}}$

para γ un mapa aditivo que conmuta con * y la multiplicación izquierda y derecha por cualquier elemento. (Sobre los reales, todas las elecciones de γ son equivalentes a −1, 0 o 1). En esta construcción, A es un álgebra con involución, lo que significa:

• A es un grupo abeliano bajo +
• A tiene un producto distributivo hacia la izquierda y hacia la derecha sobre +
• A tiene una involución * , con ( x *)* = x , ( x + y )* = x * + y * , ( xy )* = y * x * .

El álgebra B = A ⊕ A producida por la construcción de Cayley-Dickson también es un álgebra con involución.

B hereda propiedades de A sin cambios de la siguiente manera.

• Si A tiene una identidad 1 _A , entonces B tiene una identidad (1 _A , 0) .
• Si A tiene la propiedad de que x + x * , xx * se asocian y conmutan con todos los elementos, entonces B también la tiene . Esta propiedad implica que cualquier elemento genera un *-álgebra asociativa conmutativa, por lo que en particular el álgebra es asociativa en potencia.

Otras propiedades de A sólo inducen propiedades más débiles de B :

• Si A es conmutativo y tiene involución trivial, entonces B es conmutativo.
• Si A es conmutativo y asociativo, entonces B es asociativo.
• Si A es asociativo y x + x * , xx * se asocian y conmutan con todo, entonces B es un álgebra alternativa .

Notas

1. Schafer, Richard D. (1995) [1966], Introducción a las álgebras no asociativas , Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-68813-5, Zbl  0145.25601
2. Richard D. Schafer (1954) "Sobre las álgebras formadas por el proceso de Cayley-Dickson", American Journal of Mathematics 76: 435–46 doi :10.2307/2372583
3. Kevin McCrimmon (2004) Una muestra de las álgebras de Jordan , págs. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR 2014924 

Referencias

• Albert, AA (1942), "Formas cuadráticas que permiten la composición", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 43 (1): 161–177, doi :10.2307/1968887, JSTOR  1968887, MR  0006140(ver pág. 171)
• Baez, John (2002), "The Octonions", Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID  586512. (Ver "Sección 2.2, La construcción Cayley-Dickson")
• Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Annals of Mathematics , segunda serie, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi :10.2307/1967865, JSTOR  1967865
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Grandes aniquiladores en álgebras II de Cayley-Dickson". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : matemáticas/0702075 . Código Bib : 2007 matemáticas ...... 2075B.
• Kantor, Illinois; Solodownikow, AS (1978), Hyperkomplex Zahlen , Leipzig: BG Teubner(la siguiente referencia proporciona la traducción al inglés de este libro)
• Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, señor  0996029
• Hamilton, William Rowan (1847), "Sobre los cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , 3 : 1–16, ISSN  1393-7197
• Roos, chico (2008). "Dominios simétricos excepcionales §1: álgebras de Cayley". En Gilligan, Bruce; Roos, chico (eds.). Simetrías en análisis complejo . Matemáticas Contemporáneas. vol. 468. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4459-5.

Otras lecturas

• Daboul, Jamil; Delburgo, Robert (1999). "Representaciones matriciales de octoniones y generalizaciones". Revista de Física Matemática . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th/9906065 . Código bibliográfico : 1999JMP....40.4134D. doi : 10.1063/1.532950. S2CID  16932871.