En matemáticas existen magmas que son conmutativos pero no asociativos . Un ejemplo sencillo de tal magma puede derivarse del juego infantil de piedra, papel y tijera . Tales magmas dan lugar a álgebras no asociativas .
Un magma que es a la vez conmutativo y asociativo es un semigrupo conmutativo .
Ejemplo: piedra, papel, tijera
En el juego de piedra, papel o tijera , represente los gestos de "piedra", "papel" y "tijera" respectivamente, y considere la operación binaria derivada de las reglas del juego de la siguiente manera: [1]
![{\displaystyle \cdot :M\times M\to M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para todos :
![{\displaystyle x,y\en M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si y gana en el juego, entonces
![{\displaystyle x\neq y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es decir, todo es idempotente .![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Así que por ejemplo:
"el papel vence a la piedra";
"tijeras atadas con tijeras".
Esto da como resultado la tabla Cayley : [1]
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por definición, el magma es conmutativo, pero también no asociativo, [2] como lo muestra:![{\displaystyle (M,\cdot)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pero
![{\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir
![{\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es el magma no conmutativo más simple el que es conservador , en el sentido de que el resultado de cualquier operación de magma es uno de los dos valores dados como argumentos de la operación. [2]
Aplicaciones
La media aritmética y las medias generalizadas de números o de cantidades de dimensiones superiores, como las medias de Frechet , son a menudo conmutativas pero no asociativas. [3]
Se pueden utilizar magmas conmutativos pero no asociativos para analizar la recombinación genética . [4]
Referencias
- ^ ab Aten, Charlotte (2020), "Piedra, papel y tijera multijugador", Algebra Universalis , 81 (3): Documento n.º 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi :10.1007/s00012-020-00667-5, MR 4123817
- ^ ab Beaudry, Martín; Dubé, Danny; Dubé, Maxime; Latendresse, Mario; Tesson, Pascal (2014), "Los grupoides conservadores reconocen sólo lenguajes regulares", Información y Computación , 239 : 13–28, doi :10.1016/j.ic.2014.08.005, SEÑOR 3281897
- ^ Ginestet, Cedric E.; Simmons, Andrés; Kolaczyk, Eric D. (2012), "Medios ponderados de Frechet como combinaciones convexas en espacios métricos: propiedades y desigualdades medianas generalizadas", Statistics & Probability Letters , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi :10.1016/j .spl.2012.06.001, señor 2956628
- ^ Etherington, IMH (1941), "Álgebra no asociativa y el simbolismo de la genética", Actas de la Royal Society of Edinburgh, Sección B: Biología , 61 (1): 24–42, doi :10.1017/s0080455x00011334