La analogía de la impedancia es un método para representar un sistema mecánico mediante un sistema eléctrico análogo. La ventaja de hacer esto es que existe un gran cuerpo de teoría y técnicas de análisis sobre sistemas eléctricos complejos, especialmente en el campo de los filtros . [1] Al convertirlas a una representación eléctrica, estas herramientas en el dominio eléctrico se pueden aplicar directamente a un sistema mecánico sin modificaciones. Otra ventaja se presenta en los sistemas electromecánicos : convertir la parte mecánica de un sistema de este tipo en el dominio eléctrico permite analizar todo el sistema como un todo unificado.
El comportamiento matemático del sistema eléctrico simulado es idéntico al comportamiento matemático del sistema mecánico representado. Cada elemento en el dominio eléctrico tiene un elemento correspondiente en el dominio mecánico con una ecuación constitutiva análoga . Todas las leyes del análisis de circuitos , como las leyes de circuitos de Kirchhoff , que se aplican en el dominio eléctrico, también se aplican a la analogía de la impedancia mecánica.
La analogía de la impedancia es una de las dos principales analogías mecánico-eléctricas utilizadas para representar sistemas mecánicos en el dominio eléctrico, siendo la otra la analogía de la movilidad . Los papeles del voltaje y la corriente se invierten en estos dos métodos, y las representaciones eléctricas producidas son circuitos duales entre sí. La analogía de la impedancia preserva la analogía entre la impedancia eléctrica y la impedancia mecánica , mientras que la analogía de la movilidad no. Por otro lado, la analogía de la movilidad preserva la topología del sistema mecánico cuando se transfiere al dominio eléctrico, mientras que la analogía de la impedancia no.
La analogía de la impedancia se utiliza ampliamente para modelar el comportamiento de filtros mecánicos . Se trata de filtros que están destinados a ser utilizados en un circuito electrónico pero que funcionan íntegramente mediante ondas vibratorias mecánicas. Se proporcionan transductores en la entrada y salida del filtro para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico. [2]
Otro uso muy común es en el ámbito de los equipos de audio, como por ejemplo los altavoces. Los altavoces constan de un transductor y piezas mecánicas móviles. Las ondas acústicas en sí mismas son ondas de movimiento mecánico: de moléculas de aire o de algún otro medio fluido. Una de las primeras aplicaciones de este tipo fue realizar mejoras significativas en el abismal rendimiento de audio de los fonógrafos . En 1929, Edward Norton diseñó las partes mecánicas de un fonógrafo para que se comportaran como un filtro máximamente plano, anticipando así el filtro electrónico Butterworth . [3]
Antes de poder desarrollar una analogía eléctrica para un sistema mecánico, primero se debe describir como una red mecánica abstracta . El sistema mecánico se divide en una serie de elementos ideales, cada uno de los cuales puede combinarse con un análogo eléctrico. [4] Los símbolos utilizados para estos elementos mecánicos en los diagramas de red se muestran en las siguientes secciones en cada elemento individual.
Las analogías mecánicas de los elementos eléctricos agrupados también son elementos agrupados , es decir, se supone que el componente mecánico que posee el elemento es lo suficientemente pequeño como para que se pueda despreciar el tiempo que tardan las ondas mecánicas en propagarse de un extremo del componente al otro. También se pueden desarrollar analogías para elementos distribuidos , como líneas de transmisión , pero los mayores beneficios se obtienen con los circuitos de elementos agrupados. Se requieren analogías mecánicas para los tres elementos eléctricos pasivos, a saber, resistencia , inductancia y capacitancia . Cuáles son estas analogías está determinada por qué propiedad mecánica se elige para representar "esfuerzo", la analogía del voltaje , y la propiedad elegida para representar el "flujo", la analogía de la corriente . [5] En la analogía de la impedancia, la variable de esfuerzo es la fuerza y la variable de flujo es la velocidad . [6]
La analogía mecánica de la resistencia eléctrica es la pérdida de energía de un sistema en movimiento a través de procesos como la fricción . Un componente mecánico análogo a una resistencia es un amortiguador y la propiedad análoga a la resistencia es la amortiguación . Una resistencia se rige por la ecuación constitutiva de la ley de Ohm ,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es,
dónde
La resistencia eléctrica representa la parte real de la impedancia eléctrica . Asimismo, la resistencia mecánica es la parte real de la impedancia mecánica . [8]
La analogía mecánica de la inductancia en la analogía de la impedancia es la masa . Un componente mecánico análogo a un inductor es un peso grande y rígido. Un inductor se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es la segunda ley del movimiento de Newton ,
dónde
La impedancia de un inductor es puramente imaginaria y está dada por,
La impedancia mecánica análoga viene dada por,
dónde
La analogía mecánica de la capacitancia en la analogía de la impedancia es el cumplimiento. Es más común en mecánica hablar de rigidez , lo inverso de la flexibilidad. La analogía de la rigidez en el dominio eléctrico es la elastancia , menos comúnmente utilizada , la inversa de la capacitancia. [12] Un componente mecánico análogo a un condensador es un resorte . [11] Un condensador se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es una forma de la ley de Hooke ,
dónde
La impedancia de un condensador es puramente imaginaria y está dada por,
La impedancia mecánica análoga viene dada por,
Alternativamente, se puede escribir,
¿Dónde está el cumplimiento mecánico? Esto es más directamente análogo a la expresión eléctrica cuando se utiliza capacitancia. [13]
Un resonador mecánico consta de un elemento de masa y un elemento de distensibilidad. Los resonadores mecánicos son análogos a los circuitos eléctricos LC que constan de inductancia y capacitancia. Los componentes mecánicos reales inevitablemente tienen masa y elasticidad, por lo que es una propuesta práctica fabricar resonadores como un solo componente. De hecho, es más difícil hacer una masa pura o una conformidad pura como un solo componente. Se puede fabricar un resorte con una cierta elasticidad y una masa minimizada, o se puede fabricar una masa con una elasticidad minimizada, pero ninguna de las dos se puede eliminar por completo. Los resonadores mecánicos son un componente clave de los filtros mecánicos. [14]
Existen análogos para los elementos eléctricos activos de la fuente de voltaje y la fuente de corriente (generadores). El análogo mecánico en la analogía de la impedancia del generador de voltaje constante es el generador de fuerza constante. El análogo mecánico del generador de corriente constante es el generador de velocidad constante. [17]
Un ejemplo de generador de fuerza constante es el resorte de fuerza constante . Esto es análogo a una fuente de voltaje real, como una batería, que permanece cerca de un voltaje constante con carga siempre que la resistencia de la carga sea mucho mayor que la resistencia interna de la batería. Un ejemplo de un generador de velocidad constante práctico es una máquina potente ligeramente cargada, como un motor , que acciona una correa . [18]
Los sistemas electromecánicos requieren transductores para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico. Son análogas a las redes de dos puertos y, como éstas, pueden describirse mediante un par de ecuaciones simultáneas y cuatro parámetros arbitrarios. Existen numerosas representaciones posibles, pero la forma más aplicable a la analogía de la impedancia tiene los parámetros arbitrarios en unidades de impedancia. En forma matricial (con el lado eléctrico tomado como puerto 1), esta representación es,
El elemento es la impedancia mecánica del circuito abierto, es decir, la impedancia que presenta el lado mecánico del transductor cuando no entra corriente (circuito abierto) al lado eléctrico. El elemento , por el contrario, es la impedancia eléctrica sujeta, es decir, la impedancia que se presenta al lado eléctrico cuando el lado mecánico está sujeto y se le impide moverse (la velocidad es cero). Los dos elementos restantes describen las funciones de transferencia directa e inversa del transductor, respectivamente. Ambos son análogos a las impedancias de transferencia y son relaciones híbridas de una cantidad eléctrica y mecánica. [19]
La analogía mecánica de un transformador es una máquina simple como una polea o una palanca . La fuerza aplicada a la carga puede ser mayor o menor que la fuerza de entrada dependiendo de si la ventaja mecánica de la máquina es mayor o menor que la unidad respectivamente. La ventaja mecánica es análoga a la relación de vueltas del transformador en la analogía de la impedancia. Una ventaja mecánica mayor que la unidad es análoga a un transformador elevador y menor que la unidad es análoga a un transformador reductor. [20]
La figura muestra una disposición mecánica de una plataforma de masa que está suspendida sobre el sustrato mediante un resorte de rigidez y un amortiguador de resistencia. El circuito equivalente de analogía de impedancia se muestra a la derecha de esta disposición y consta de un circuito resonante en serie . Este sistema tiene una frecuencia resonante y puede tener una frecuencia natural de oscilación si no se amortigua demasiado. [21]
El diagrama del circuito muestra un modelo de analogía de impedancia del oído humano . A la sección del canal auditivo le sigue un transformador que representa el tímpano . El tímpano es el transductor entre las ondas acústicas del aire en el canal auditivo y las vibraciones mecánicas en los huesos del oído medio. En la cóclea hay otro cambio de medio, desde las vibraciones mecánicas hasta el líquido que llena la cóclea. Este ejemplo demuestra así el poder de las analogías eléctricas para reunir tres dominios (acústico, mecánico y flujo de fluidos) en un todo unificado. Si los impulsos nerviosos que fluyen hacia el cerebro también se hubieran incluido en el modelo, entonces el dominio eléctrico habría formado cuatro dominios abarcados en el modelo.
La parte de la cóclea del circuito utiliza un análisis de elementos finitos de la línea de transmisión continua del conducto coclear. Una representación ideal de tal estructura utilizaría elementos infinitesimales y, por tanto, habría un número infinito de ellos. En este modelo, la cóclea se divide en 350 secciones y cada sección se modela utilizando una pequeña cantidad de elementos agrupados. [22]
La principal ventaja de la analogía de la impedancia sobre su alternativa, la analogía de la movilidad , es que mantiene la analogía entre la impedancia eléctrica y la mecánica. Es decir, una impedancia mecánica se representa como una impedancia eléctrica y una resistencia mecánica se representa como una resistencia eléctrica en el circuito eléctrico equivalente. También es natural pensar que la fuerza es análoga al voltaje ( los voltajes del generador a menudo se denominan fuerza electromotriz ) y la velocidad como análoga a la corriente. Es esta analogía básica la que conduce a la analogía entre la impedancia eléctrica y la mecánica. [5]
La principal desventaja de la analogía de la impedancia es que no preserva la topología del sistema mecánico. Los elementos que están en serie en el sistema mecánico están en paralelo en el circuito eléctrico equivalente y viceversa. [23]
La representación de la matriz de impedancia de un transductor transforma la fuerza en el dominio mecánico en corriente en el dominio eléctrico. Asimismo, la velocidad en el dominio mecánico se transforma en voltaje en el dominio eléctrico. Un dispositivo de dos puertos que transforma un voltaje en una cantidad análoga se puede representar como un transformador simple. Un dispositivo que transforma un voltaje en un análogo de la propiedad dual del voltaje (es decir, la corriente, cuyo análogo es la velocidad) se representa como un girador . [24] Dado que la fuerza es análoga al voltaje, no a la corriente, esto puede parecer una desventaja a primera vista. Sin embargo, muchos transductores prácticos, especialmente en frecuencias de audio , funcionan por inducción electromagnética y se rigen precisamente por esa relación. [25] Por ejemplo, la fuerza sobre un conductor que transporta corriente viene dada por,
dónde
La analogía de la impedancia a veces se denomina analogía de Maxwell [5] en honor a James Clerk Maxwell (1831-1879), quien utilizó analogías mecánicas para explicar sus ideas sobre los campos electromagnéticos. [26] Sin embargo, el término impedancia no fue acuñado hasta 1886 (por Oliver Heaviside ), [27] la idea de impedancia compleja fue introducida por Arthur E. Kennelly en 1893, y el concepto de impedancia no se extendió al dominio mecánico hasta 1920 por Kennelly y Arthur Gordon Webster . [28]
Henri Poincaré en 1907 fue el primero en describir un transductor como un par de ecuaciones algebraicas lineales que relacionan variables eléctricas (voltaje y corriente) con variables mecánicas (fuerza y velocidad). [29] Wegel, en 1921, fue el primero en expresar estas ecuaciones en términos de impedancia mecánica así como de impedancia eléctrica. [30]
