Alexandra Bellow (de soltera Bagdasar ; anteriormente Ionescu Tulcea ; nacida el 30 de agosto de 1935) es una matemática rumano-estadounidense que ha realizado contribuciones en los campos de la teoría ergódica , la probabilidad y el análisis .
Bellow nació en Bucarest , Rumania, el 30 de agosto de 1935, como Alexandra Bagdasar . Sus padres eran médicos. Su madre, Florica Bagdasar (née Ciumetti), era psiquiatra infantil . Su padre, Dumitru Bagdasar , era neurocirujano . Recibió su maestría en matemáticas de la Universidad de Bucarest en 1957, donde conoció y se casó con su primer marido, el matemático Cassius Ionescu-Tulcea . Acompañó a su esposo a los Estados Unidos en 1957 y recibió su doctorado de la Universidad de Yale en 1959 bajo la dirección de Shizuo Kakutani con la tesis Teoría ergódica de series aleatorias . [1] Después de recibir su título, trabajó como investigadora asociada en Yale desde 1959 hasta 1961, y como profesora asistente en la Universidad de Pensilvania desde 1962 hasta 1964. Desde 1964 hasta 1967 fue profesora asociada en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign . En 1967 se trasladó a la Universidad Northwestern como profesora de matemáticas. Estuvo en Northwestern hasta su jubilación en 1996, cuando se convirtió en profesora emérita.
Durante su matrimonio con Cassius Ionescu-Tulcea (1956-1969), ella y su marido escribieron conjuntamente numerosos artículos y una monografía de investigación sobre la teoría de la elevación .
El segundo marido de Alexandra fue el escritor Saul Bellow , que recibió el Premio Nobel de Literatura en 1976, durante su matrimonio (1975-1985). Alexandra aparece en los escritos de Bellow; es retratada con cariño en sus memorias To Jerusalem and Back (1976), y, en su novela The Dean's December (1982), de manera más crítica y satírica en su última novela, Ravelstein (2000), que fue escrita muchos años después de su divorcio. [2] [3] La década de los noventa fue para Alexandra un período de realización personal y profesional, propiciada por su matrimonio en 1989 con el matemático Alberto P. Calderón .
Algunos de sus primeros trabajos se centraron en las propiedades y consecuencias de la elevación . La teoría de la elevación, que había comenzado con los artículos pioneros de John von Neumann y más tarde de Dorothy Maharam , cobró importancia en los años 1960 y 1970 con el trabajo de Ionescu Tulceas y proporcionó el tratamiento definitivo para la teoría de la representación de los operadores lineales que surgen en la probabilidad, el proceso de desintegración de medidas. Su monografía Ergebnisse de 1969 [a] se convirtió en una referencia estándar en esta área.
Aplicando un levantamiento a un proceso estocástico , los Ionescu Tulceas obtuvieron un proceso "separable"; esto proporciona una prueba rápida del teorema de Joseph Leo Doob sobre la existencia de una modificación separable de un proceso estocástico (también una forma "canónica" de obtener la modificación separable). [b] Además, aplicando un levantamiento a una función "débilmente" medible con valores en un conjunto débilmente compacto de un espacio de Banach , se obtiene una función fuertemente medible; esto proporciona una prueba unilineal del teorema clásico de Phillips (también una forma "canónica" de obtener la versión fuertemente medible). [c] [d]
Decimos que un conjunto H de funciones medibles satisface la "propiedad de separación" si dos funciones distintas en H pertenecen a clases de equivalencia distintas. El rango de una elevación es siempre un conjunto de funciones medibles con la "propiedad de separación". El siguiente "criterio de metrización" da una idea de por qué las funciones en el rango de una elevación se comportan mucho mejor. Sea H un conjunto de funciones medibles con las siguientes propiedades: (I) H es compacto (para la topología de convergencia puntual ); (II) H es convexo ; (III) H satisface la "propiedad de separación". Entonces H es metrizable . [d] [e] La prueba de la existencia de una elevación que conmuta con las traslaciones a la izquierda de un grupo arbitrario localmente compacto , por los Ionescu Tulceas, es altamente no trivial; hace uso de la aproximación por grupos de Lie y argumentos de tipo martingala adaptados a la estructura del grupo. [f]
A principios de los años 1960 trabajó con C. Ionescu Tulcea en martingalas que toman valores en un espacio de Banach. [g] En cierto sentido, este trabajo lanzó el estudio de las martingalas con valores vectoriales, con la primera prueba de la convergencia "fuerte" casi en todas partes para martingalas que toman valores en un espacio de Banach con (lo que más tarde se conocería como) la propiedad de Radon-Nikodym ; esto, por cierto, abrió las puertas a una nueva área de análisis, la "geometría de los espacios de Banach". Estas ideas fueron posteriormente extendidas por Bellow a la teoría de "amarts uniformes", [h] (en el contexto de los espacios de Banach, las amarts uniformes son la generalización natural de las martingalas, cuasi-martingalas y poseen notables propiedades de estabilidad, como el muestreo opcional), ahora un capítulo importante en la teoría de la probabilidad.
En 1960 Donald Samuel Ornstein construyó un ejemplo de una transformación no singular en el espacio de Lebesgue del intervalo unitario, que no admite una medida invariante –finita equivalente a la medida de Lebesgue, resolviendo así un problema de larga data en la teoría ergódica. Unos años más tarde, Rafael V. Chacón dio un ejemplo de una isometría positiva (lineal) de para la cual el teorema ergódico individual falla en . Su trabajo [i] unifica y extiende estos dos resultados notables. Muestra, por métodos de la categoría de Baire , que los ejemplos aparentemente aislados de transformaciones no singulares descubiertos primero por Ornstein y luego por Chacón, eran de hecho el caso típico.
A principios de los años 1980, Bellow comenzó a publicar una serie de artículos que dieron lugar a un resurgimiento de esa área de la teoría ergódica que trataba los teoremas límite y la delicada cuestión de la convergencia de EA puntuales . Esto se logró explotando la interacción con la probabilidad y el análisis armónico, en el contexto moderno (el teorema del límite central , los principios de transferencia, las funciones cuadradas y otras técnicas de integrales singulares forman ahora parte del arsenal diario de las personas que trabajan en esta área de la teoría ergódica) y atrayendo a un número de matemáticos talentosos que eran muy activos en esta área. Uno de los dos problemas que planteó en la reunión de Oberwolfach sobre "Teoría de la medida" en 1981, [j] fue la cuestión de la validez, para en , del teorema ergódico puntual a lo largo de la "secuencia de cuadrados" y a lo largo de la "secuencia de primos" ( Hillel Furstenberg planteó una cuestión similar de forma independiente, un año después ). Este problema fue resuelto varios años después por Jean Bourgain , pues en , en el caso de los "cuadrados", y para en el caso de los "primos" (el argumento fue impulsado hasta por Máté Wierdl; el caso de sin embargo ha permanecido abierto). Bourgain recibió la Medalla Fields en 1994, en parte por su trabajo en teoría ergódica.
Fue Ulrich Krengel quien primero dio, en 1971, una ingeniosa construcción de una secuencia creciente de números enteros positivos a lo largo de la cual el teorema ergódico puntual falla en para cada transformación ergódica. La existencia de tal "mala secuencia universal" fue una sorpresa. Bellow demostró [k] que cada secuencia lacunaria de números enteros es de hecho una "mala secuencia universal" en . Por lo tanto, las secuencias lacunarias son ejemplos "canónicos" de "malas secuencias universales". Más tarde pudo demostrar [l] que desde el punto de vista del teorema ergódico puntual, una secuencia de números enteros positivos puede ser "buena universal" en , pero "mala universal" en , para todo . Esto fue bastante sorprendente y respondió a una pregunta planteada por Roger Jones .
Un lugar en esta área de investigación lo ocupa la "propiedad de fuerte barrido" (que puede exhibir una secuencia de operadores lineales). Esto describe la situación en la que casi en todas partes la convergencia se rompe incluso en y de la peor manera posible. Ejemplos de esto aparecen en varios de sus artículos. La "propiedad de fuerte barrido" juega un papel importante en esta área de investigación. Bellow y sus colaboradores hicieron un estudio extenso y sistemático de esta noción, dando varios criterios y numerosos ejemplos de la propiedad de fuerte barrido. [m] Trabajando con Krengel, pudo [n] dar una respuesta negativa a una conjetura de larga data de Eberhard Hopf . Más tarde, Bellow y Krengel [o] trabajando con Calderón pudieron demostrar que, de hecho, los operadores de Hopf tienen la propiedad de "fuerte barrido".
En el estudio de flujos aperiódicos, el muestreo en tiempos casi periódicos, como por ejemplo, , donde es positivo y tiende a cero, no conduce a una convergencia ae; de hecho, se produce un fuerte barrido. [p] Esto muestra la posibilidad de errores graves al utilizar el teorema ergódico para el estudio de sistemas físicos. Tales resultados pueden ser de valor práctico para estadísticos y otros científicos. En el estudio de sistemas ergódicos discretos, que pueden observarse solo en ciertos bloques de tiempo, se tiene la siguiente dicotomía de comportamiento de los promedios correspondientes: o bien los promedios convergen ae para todas las funciones en , o bien se cumple la propiedad de fuerte barrido. Esto depende de las propiedades geométricas de los bloques. [q]
Varios matemáticos (incluido Bourgain) trabajaron en problemas planteados por Bellow y respondieron a esas preguntas en sus artículos. [4] [5] [6]
