Álgebra elemental

Conceptos básicos de álgebra.

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

La fórmula cuadrática , que es la solución de la ecuación cuadrática donde . Aquí los símbolos a , b y c representan números arbitrarios, y x es una variable que representa la solución de la ecuación. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Gráfico bidimensional (curva roja) de la ecuación algebraica . ${\displaystyle y=x^{2}-x-2}$

El álgebra elemental , también conocida como álgebra universitaria , ^[1] abarca los conceptos básicos del álgebra . A menudo se contrasta con la aritmética : la aritmética trata con números específicos , ^[2] mientras que el álgebra introduce variables (cantidades sin valores fijos). ^[3]

Este uso de variables implica el uso de la notación algebraica y la comprensión de las reglas generales de las operaciones introducidas en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, etc. A diferencia del álgebra abstracta , el álgebra elemental no se ocupa de estructuras algebraicas fuera del ámbito de lo real. y números complejos .

Por lo general, se enseña a estudiantes de secundaria y a nivel universitario introductorio en los Estados Unidos , ^[4] y se basa en su comprensión de la aritmética . El uso de variables para denotar cantidades permite que las relaciones generales entre cantidades se expresen de manera formal y concisa y, por lo tanto, permite resolver una gama más amplia de problemas. Muchas relaciones cuantitativas en ciencias y matemáticas se expresan como ecuaciones algebraicas .

Operaciones algebraicas

Operaciones algebraicas en la solución de la ecuación cuadrática . El signo radical √, que denota una raíz cuadrada , es equivalente a la exponenciación a la potencia de1/2. El signo ± significa que la ecuación se puede escribir con un signo + o –.

En matemáticas , una operación algebraica básica es cualquiera de las operaciones comunes del álgebra elemental, que incluyen suma , resta , multiplicación , división , elevación a una potencia de número entero y extracción de raíces ( potencia fraccionaria ). ^[5] Estas operaciones pueden realizarse con números , en cuyo caso suelen denominarse operaciones aritméticas . También pueden realizarse, de forma similar, sobre variables , expresiones algebraicas , ^[6] y, más en general, sobre elementos de estructuras algebraicas , como grupos y cuerpos . ^[7] Una operación algebraica también puede definirse simplemente como una función de una potencia cartesiana de un conjunto al mismo conjunto. ^[8]

El término operación algebraica también se puede utilizar para operaciones que pueden definirse mediante la combinación de operaciones algebraicas básicas, como el producto escalar . En cálculo y análisis matemático , la operación algebraica también se utiliza para las operaciones que pueden definirse mediante métodos puramente algebraicos . Por ejemplo, la exponenciación con exponente entero o racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con exponente real o complejo . Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Notación algebraica

La notación algebraica describe las reglas y convenciones para escribir expresiones matemáticas , así como la terminología utilizada para hablar de partes de expresiones. Por ejemplo, la expresión tiene los siguientes componentes: ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$

1. exponente (potencia)
2. coeficiente
3. término
4. operación
5. constante ,
   x, y . variables

Un coeficiente es un valor numérico, o letra que representa una constante numérica, que multiplica una variable (se omite el operador). Un término es un sumando o un sumando , un grupo de coeficientes, variables, constantes y exponentes que pueden separarse de los demás términos mediante los operadores más y menos. ^[9] Las letras representan variables y constantes. Por convención, las letras al principio del alfabeto (p. ej .) se usan normalmente para representar constantes , y las que están hacia el final del alfabeto (p. ej. yz ) se usan para representar variables . ^[10] Suelen estar impresos en cursiva. ^[11] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , ^[12] como la suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . ^[13] y se aplican a variables y términos algebraicos. Los símbolos de multiplicación generalmente se omiten y se implican cuando no hay espacio entre dos variables o términos, o cuando se usa un coeficiente . Por ejemplo, se escribe como y puede escribirse . ^[14] ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 2\times x\times y}$ ${\displaystyle 2xy}$

Generalmente los términos con mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escribe a la izquierda de x . Cuando un coeficiente es uno, normalmente se omite (por ejemplo, se escribe ). ^[15] Asimismo cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo, se escribe ). ^[16] Cuando el exponente es cero, el resultado siempre es 1 (por ejemplo , siempre se reescribe en 1 ). ^[17] Sin embargo , al no estar definido, no debe aparecer en una expresión, y se debe tener cuidado al simplificar expresiones en las que las variables pueden aparecer en exponentes. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{0}}$

Notación alternativa

Otros tipos de notación se utilizan en expresiones algebraicas cuando el formato requerido no está disponible o no puede estar implícito, como cuando solo están disponibles letras y símbolos. Como ejemplo de esto, mientras que los exponentes generalmente se formatean usando superíndices, por ejemplo, en texto sin formato y en el lenguaje de marcado TeX , el símbolo de intercalación ^ representa la exponenciación, por lo que se escribe como "x^2". ^{[18] [19]} Esto también se aplica a algunos lenguajes de programación como Lua. En lenguajes de programación como Ada , ^[20] Fortran , ^[21] Perl , ^[22] Python ^[23] y Ruby , ^[24] se utiliza un asterisco doble, por lo que se escribe como "x**2". Muchos lenguajes de programación y calculadoras utilizan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, ^[25] y debe usarse explícitamente, por ejemplo, se escribe "3*x". ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x}$

Conceptos

variables

Ejemplo de variables que muestran la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia. Para cualquier círculo , su circunferencia c , dividida por su diámetro d , es igual a la constante pi , (aproximadamente 3,14). ${\displaystyle \pi }$

El álgebra elemental se basa y amplía la aritmética ^[26] mediante la introducción de letras llamadas variables para representar números generales (no especificados). Esto es útil por varias razones.

1. Las variables pueden representar números cuyos valores aún no se conocen . Por ejemplo, si la temperatura del día actual, C, es 20 grados más alta que la temperatura del día anterior, P, entonces el problema se puede describir algebraicamente como . ^[27] ${\displaystyle C=P+20}$
2. Las variables permiten describir problemas generales , ^[4] sin especificar los valores de las cantidades involucradas. Por ejemplo, se puede afirmar específicamente que 5 minutos equivalen a segundos. Una descripción más general (algebraica) puede indicar que el número de segundos, donde m es el número de minutos. ${\displaystyle 60\times 5=300}$ ${\displaystyle s=60\times m}$
3. Las variables permiten describir relaciones matemáticas entre cantidades que pueden variar. ^[28] Por ejemplo, la relación entre la circunferencia, c , y el diámetro, d , de un círculo se describe mediante . ${\displaystyle \pi =c/d}$
4. Las variables permiten describir algunas propiedades matemáticas. Por ejemplo, una propiedad básica de la suma es la conmutatividad , que establece que el orden de los números que se suman no importa. La conmutatividad se expresa algebraicamente como . ^[29] ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$

Simplificar expresiones

Las expresiones algebraicas pueden evaluarse y simplificarse, basándose en las propiedades básicas de las operaciones aritméticas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación ). Por ejemplo,

• Los términos agregados se simplifican mediante coeficientes. Por ejemplo, se puede simplificar como (donde 3 es un coeficiente numérico). ${\displaystyle x+x+x}$ ${\displaystyle 3x}$
• Los términos multiplicados se simplifican usando exponentes. Por ejemplo, se representa como ${\displaystyle x\times x\times x}$ ${\displaystyle x^{3}}$
• Los términos similares se suman, ^[30] por ejemplo, se escribe como , porque los términos que los contienen se suman y los términos que los contienen se suman. ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ ${\displaystyle x^{2}+4ab}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ab}$
• Los paréntesis se pueden "multiplicar" utilizando la propiedad distributiva . Por ejemplo, se puede escribir como cuál se puede escribir como ${\displaystyle x(2x+3)}$ ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Las expresiones se pueden factorizar. Por ejemplo, dividiendo ambos términos por se puede escribir como ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Ecuaciones

Animación que ilustra la regla de Pitágoras para un triángulo rectángulo, que muestra la relación algebraica entre la hipotenusa del triángulo y los otros dos lados.

Una ecuación establece que dos expresiones son iguales usando el símbolo de igualdad = (el signo igual ). ^[31] Una de las ecuaciones más conocidas describe la ley de Pitágoras que relaciona la longitud de los lados de un triángulo rectángulo : ^[32]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Esta ecuación establece que , representando el cuadrado de la longitud del lado que es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma (suma) de los cuadrados de los otros dos lados cuyas longitudes están representadas por a y b . ${\displaystyle c^{2}}$

Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones tienen el mismo valor y son iguales. Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas (como ); tales ecuaciones se llaman identidades . Las ecuaciones condicionales son verdaderas sólo para algunos valores de las variables involucradas, por ejemplo, son verdaderas solo para y . Los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera son las soluciones de la ecuación y se pueden encontrar mediante la resolución de ecuaciones . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle x^{2}-1=8}$ ${\displaystyle x=3}$ ${\displaystyle x=-3}$

Otro tipo de ecuación es la desigualdad. Las desigualdades se utilizan para mostrar que un lado de la ecuación es mayor o menor que el otro. Los símbolos utilizados para esto son: donde representa "mayor que" y donde representa "menor que". Al igual que las ecuaciones de igualdad estándar, los números se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. La única excepción es que al multiplicar o dividir por un número negativo, se debe invertir el símbolo de desigualdad. ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle <}$

Propiedades de la igualdad

Por definición, la igualdad es una relación de equivalencia , lo que significa que es reflexiva (es decir ), simétrica (es decir, si entonces ) y transitiva (es decir, si y entonces ). ^[33] También satisface la importante propiedad de que si se usan dos símbolos para cosas iguales, entonces un símbolo puede sustituirse por el otro en cualquier afirmación verdadera sobre el primero y la afirmación seguirá siendo verdadera. Esto implica las siguientes propiedades: ${\displaystyle b=b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

• si y entonces y ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c=d}$ ${\displaystyle a+c=b+d}$ ${\displaystyle ac=bd}$
• si entonces y ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a+c=b+c}$ ${\displaystyle ac=bc}$
• de manera más general, para cualquier función f , si entonces . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Propiedades de la desigualdad

Las relaciones menor que y mayor que tienen la propiedad de transitividad: ^[34] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• Si     y     entonces   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c}$ ${\displaystyle a<c}$
• Si     y     entonces   ; ^[35] ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle a+c<b+d}$
• Si     y     entonces   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle ac<bc}$
• Si     y     entonces   . ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle bc<ac}$

Al invertir la inecuación, y se puede intercambiar, ^[36] por ejemplo: ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• ${\displaystyle a<b}$es equivalente a ${\displaystyle b>a}$

Sustitución

La sustitución consiste en reemplazar los términos de una expresión para crear una nueva expresión. Sustituir a por 3 en la expresión a *5 crea una nueva expresión 3*5 con significado 15 . La sustitución de los términos de una declaración genera una nueva declaración. Cuando el enunciado original es verdadero independientemente de los valores de los términos, el enunciado creado mediante sustituciones también es verdadero. Por lo tanto, las definiciones pueden hacerse en términos simbólicos e interpretarse mediante sustitución: si se entiende como la definición de como el producto de a consigo mismo, sustituir a por 3 informa al lector de esta afirmación que significa 3 × 3 = 9 . A menudo no se sabe si la afirmación es verdadera independientemente de los valores de los términos. Y la sustitución permite derivar restricciones sobre los valores posibles o mostrar en qué condiciones se cumple el enunciado. Por ejemplo, tomando la afirmación x + 1 = 0 , si x se sustituye por 1 , esto implica 1 + 1 = 2 = 0 , lo cual es falso, lo que implica que si x + 1 = 0 entonces x no puede ser 1 . ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$ ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle 3^{2}}$

Si xey son números enteros , racionales o reales , entonces xy = 0 implica x = 0 o y = 0 . Considere abc = 0 . Luego, sustituyendo x por a y y por bc , aprendemos a = 0 o bc = 0 . Luego podemos sustituir nuevamente, dejando x = by y = c , para mostrar que si bc = 0 entonces b = 0 o c = 0 . Por lo tanto, si abc = 0 , entonces a = 0 o ( b = 0 o c = 0 ), entonces abc = 0 implica a = 0 o b = 0 o c = 0 .

Si el hecho original se estableciera como " ab = 0 implica a = 0 o b = 0 ", entonces al decir "considere abc = 0 ", tendríamos un conflicto de términos al sustituir. Sin embargo, la lógica anterior sigue siendo válida para mostrar que si abc = 0 entonces a = 0 o b = 0 o c = 0 si, en lugar de dejar a = a y b = bc , se sustituye a por a y b por bc (y con bc = 0 , sustituyendo b por a y c por b ). Esto muestra que sustituir los términos en un enunciado no siempre es lo mismo que dejar que los términos del enunciado sean iguales a los términos sustituidos. En esta situación, está claro que si sustituimos una expresión a en el término a de la ecuación original, la a sustituida no se refiere a la a en el enunciado " ab = 0 implica a = 0 o b = 0 ".

Resolver ecuaciones algebraicas

Un problema típico de álgebra.

Las siguientes secciones presentan ejemplos de algunos de los tipos de ecuaciones algebraicas que pueden encontrarse.

Ecuaciones lineales con una variable.

Las ecuaciones lineales se llaman así porque cuando se trazan, describen una línea recta. Las ecuaciones más sencillas de resolver son las ecuaciones lineales que tienen una sola variable. Contienen sólo números constantes y una única variable sin exponente. Como ejemplo, considere:

Problema en palabras: Si duplicas la edad de un niño y le sumas 4, la respuesta resultante es 12. ¿Qué edad tiene el niño?

Ecuación equivalente: donde x representa la edad del niño ${\displaystyle 2x+4=12}$

Para resolver este tipo de ecuación, la técnica consiste en sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número para aislar la variable en un lado de la ecuación. Una vez aislada la variable, el otro lado de la ecuación es el valor de la variable. ^[37] Este problema y su solución son los siguientes:

Resolviendo para x

En palabras: el niño tiene 4 años.

La forma general de una ecuación lineal con una variable se puede escribir como: ${\displaystyle ax+b=c}$

Siguiendo el mismo procedimiento (es decir, restar b de ambos lados y luego dividir por a ), la solución general viene dada por ${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$

Ecuaciones lineales con dos variables.

Resolver dos ecuaciones lineales con solución única en el punto en el que se cruzan.

Una ecuación lineal con dos variables tiene muchas (es decir, un número infinito de) soluciones. ^[38] Por ejemplo:

El problema en palabras: un padre es 22 años mayor que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Ecuación equivalente: donde y es la edad del padre, x es la edad del hijo. ${\displaystyle y=x+22}$

Eso no se puede solucionar por sí solo. Si se diera a conocer la edad del hijo, entonces ya no habría dos incógnitas (variables). El problema entonces se convierte en una ecuación lineal con una sola variable, que puede resolverse como se describe anteriormente.

Para resolver una ecuación lineal con dos variables (incógnitas), se requieren dos ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, si también se revelara que:

problema en palabras

Dentro de 10 años, el padre tendrá el doble de la edad de su hijo.

Ecuación equivalente

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}}$

Ahora hay dos ecuaciones lineales relacionadas, cada una con dos incógnitas, lo que permite producir una ecuación lineal con una sola variable, restando una de la otra (llamado método de eliminación): ^[39]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}$

En otras palabras, el hijo tiene 12 años, y como el padre es 22 años mayor, él debe tener 34. En 10 años, el hijo tendrá 22 años y el padre tendrá el doble de su edad, 44. Este problema se ilustra en la gráfico asociado de las ecuaciones.

Para conocer otras formas de resolver este tipo de ecuaciones, consulte a continuación, Sistema de ecuaciones lineales .

Ecuaciones cuadráticas

Gráfico de ecuación cuadrática que muestra sus raíces en y , y que la ecuación cuadrática se puede reescribir como ${\displaystyle y=x^{2}+3x-10}$ ${\displaystyle x=-5}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=(x+5)(x-2)}$

Una ecuación cuadrática es aquella que incluye un término con un exponente de 2, por ejemplo, [ ^40] y ningún término con un exponente mayor. El nombre deriva del latín quadrus , que significa cuadrado. ^[41] En general, una ecuación cuadrática se puede expresar en la forma , ^[42] donde a no es cero (si fuera cero, entonces la ecuación no sería cuadrática sino lineal). Debido a esto, una ecuación cuadrática debe contener el término , que se conoce como término cuadrático. Por lo tanto, podemos dividir por a y reordenar la ecuación a la forma estándar ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

dónde y . Resolver esto, mediante un proceso conocido como completar el cuadrado , conduce a la fórmula cuadrática ${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

donde el símbolo "±" indica que ambos

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

son soluciones de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver mediante factorización (cuyo proceso inverso es expansión , pero para dos términos lineales a veces se denota frustración ). Como ejemplo de factorización:

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

que es lo mismo que

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

De la propiedad del producto cero se deduce que o son soluciones, ya que precisamente uno de los factores debe ser igual a cero . Todas las ecuaciones cuadráticas tendrán dos soluciones en el sistema de números complejos , pero no es necesario que tengan ninguna en el sistema de números reales . Por ejemplo, ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=-5}$

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

no tiene solución de números reales ya que ningún número real al cuadrado es igual a −1. A veces una ecuación cuadrática tiene una raíz de multiplicidad 2, como por ejemplo:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Para esta ecuación, −1 es una raíz de multiplicidad 2. Esto significa que −1 aparece dos veces, ya que la ecuación se puede reescribir en forma factorizada como

${\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

Números complejos

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen exactamente dos soluciones en números complejos (pero pueden ser iguales entre sí), categoría que incluye números reales , números imaginarios y sumas de números reales e imaginarios. Los números complejos surgen por primera vez en la enseñanza de ecuaciones cuadráticas y fórmulas cuadráticas. Por ejemplo, la ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

tiene soluciones

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Como no es un número real, ambas soluciones para x son números complejos. ${\displaystyle {\sqrt {-3}}}$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

La gráfica del logaritmo en base 2 cruza el eje x (eje horizontal) en 1 y pasa por los puntos con coordenadas (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) . Por ejemplo, log ₂ (8) = 3 , porque 2 ³ = 8. La gráfica se acerca arbitrariamente al eje y , pero no lo encuentra ni lo intersecta .

Una ecuación exponencial es aquella que tiene la forma para , ^[43] que tiene solución ${\displaystyle a^{x}=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

cuando . Se utilizan técnicas algebraicas elementales para reescribir una ecuación dada de la forma anterior antes de llegar a la solución. Por ejemplo, si ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

luego, restando 1 a ambos lados de la ecuación y luego dividiendo ambos lados por 3 obtenemos

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

De dónde

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

o

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

Una ecuación logarítmica es una ecuación de la forma para , que tiene solución ${\displaystyle log_{a}(x)=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=a^{b}.}$

Por ejemplo, si

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}$

luego, sumando 2 a ambos lados de la ecuación y luego dividiendo ambos lados por 4, obtenemos

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}$

De dónde

${\displaystyle x-3=5^{2}=25}$

del cual obtenemos

${\displaystyle x=28.}$

Ecuaciones radicales

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}}$

Ecuación radical que muestra dos formas de representar una misma expresión. La barra triple significa que la ecuación es verdadera para todos los valores de x .

Una ecuación radical es aquella que incluye un signo radical, que incluye raíces cuadradas , raíces cúbicas , y raíces enésimas ,. Recuerde que una raíz enésima se puede reescribir en formato exponencial, por lo que equivale a . Combinado con exponentes regulares (potencias), entonces (la raíz cuadrada de x al cubo), se puede reescribir como . ^[44] Entonces, una forma común de ecuación radical es ( equivalente a ) donde myn son números enteros . Tiene soluciones reales : ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$ ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}$

Por ejemplo, si:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}$

Sistema de ecuaciones lineales.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

Método de eliminación

El conjunto solución de las ecuaciones y es el punto único (2, 3). ${\displaystyle x-y=-1}$ ${\displaystyle 3x+y=9}$

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales es mediante el método de eliminación:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Multiplicando los términos de la segunda ecuación por 2:

${\displaystyle 4x+2y=14}$

${\displaystyle 4x-2y=2.}$

Sumando las dos ecuaciones se obtiene:

${\displaystyle 8x=16}$

lo que simplifica a

${\displaystyle x=2.}$

Dado que se conoce el hecho , es posible deducir que mediante cualquiera de las dos ecuaciones originales (usando 2 en lugar de x ) la solución completa a este problema es entonces ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=3}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Esta no es la única forma de solucionar este sistema específico; y podría haberse resuelto antes de x .

Método de sustitución

Otra forma de resolver un mismo sistema de ecuaciones lineales es mediante sustitución.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Se puede deducir un equivalente para y utilizando una de las dos ecuaciones. Usando la segunda ecuación:

${\displaystyle 2x-y=1}$

Restando de cada lado de la ecuación: ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}$

y multiplicando por −1:

${\displaystyle y=2x-1.}$

Usando este valor de y en la primera ecuación del sistema original:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}$

Sumando 2 a cada lado de la ecuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}$

lo que simplifica a

${\displaystyle x=2}$

Utilizando este valor en una de las ecuaciones se obtiene la misma solución que en el método anterior.

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Esta no es la única forma de solucionar este sistema específico; También en este caso, y podría haberse resuelto antes que x .

Otros tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas inconsistentes

Las ecuaciones y son paralelas y no se pueden cruzar y no tienen solución. ${\displaystyle 3x+2y=6}$ ${\displaystyle 3x+2y=12}$

Gráfico de una ecuación cuadrática (rojo) y una ecuación lineal (azul) que no se cruzan y, en consecuencia, para las cuales no existe una solución común.

En el ejemplo anterior, existe una solución. Sin embargo, también existen sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Un sistema así se llama inconsistente . Un ejemplo obvio es

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Como 0≠2, la segunda ecuación del sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema no tiene solución. Sin embargo, no todos los sistemas inconsistentes se reconocen a primera vista. Como ejemplo, consideremos el sistema

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Multiplicar por 2 ambos lados de la segunda ecuación y sumarla a la primera da como resultado

${\displaystyle 0x+0y=4\,,}$

que claramente no tiene solución.

Sistemas indeterminados

También hay sistemas que tienen infinitas soluciones, en contraste con un sistema con una solución única (es decir, un par único de valores para x e y ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}$

Aislando y en la segunda ecuación:

${\displaystyle y=-2x+6}$

Y usando este valor en la primera ecuación del sistema:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}$

La igualdad es verdadera, pero no proporciona un valor para x . De hecho, se puede verificar fácilmente (simplemente completando algunos valores de x ) que para cualquier x hay una solución siempre que . Hay una infinidad de soluciones para este sistema. ${\displaystyle y=-2x+6}$

Sistemas sobredeterminados y subdeterminados

Los sistemas con más variables que el número de ecuaciones lineales se llaman indeterminados . Un sistema así, si tiene alguna solución, no la tiene única sino una infinidad de ellas. Un ejemplo de tal sistema es

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Al intentar resolverlo, uno se ve obligado a expresar algunas variables como funciones de otras si existe alguna solución, pero no puede expresar todas las soluciones numéricamente porque hay un número infinito de ellas si las hay.

Un sistema con mayor número de ecuaciones que de variables se llama sobredeterminado . Si un sistema sobredeterminado tiene alguna solución, necesariamente algunas ecuaciones son combinaciones lineales de las demás.

Ver también

• Historia del álgebra
• operación binaria
• eliminación gaussiana
• educación matemática
• Numero de linea
• Polinomio
• Cancelando
• El problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski

Referencias

• Leonhard Euler , Elements of Algebra , 1770. Traducción al inglés Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , también ediciones digitalizadas en línea ^[45] 2006, ^[46] 1822.  
• Charles Smith, Tratado de álgebra , en Monografías de matemáticas históricas de la biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Enrojecer, John. Álgebra elemental Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine . Conocimiento del mundo plano, 2011

1. Pierce, R., Álgebra universitaria, Maths is Fun , consultado el 28 de agosto de 2023.
2. HE Slaught y NJ Lennes, Álgebra elemental , Publ. Allyn y Bacon, 1915, página 1 (reeditado por Forgotten Books)
3. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Comprensión del álgebra elemental con geometría: un curso para estudiantes universitarios , Editor: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 páginas, página 2 
4. Lawrence S. Leff, Álgebra universitaria: claves de estudio Ez-101 de Barron , Editorial: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147 , 9780764129148, 230 páginas, página 2 
5. "operación algebraica | Encyclopedia.com". www.enciclopedia.com . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
6. William Smyth, Álgebra elemental: para escuelas y academias , editor Bailey and Noyes, 1864, "Operaciones algebraicas"
7. Horatio Nelson Robinson, Nueva álgebra elemental: que contiene los rudimentos de la ciencia para escuelas y academias , Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, página 7
8. "Operación algebraica - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
9. Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Álgebra introductoria: un enfoque aplicado , Editor Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042 , 9781439046043, página 78 
10. William L. Hosch (editor), Guía Británica de Álgebra y Trigonometría , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, página 71 
11. James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 184] 
12. Horatio Nelson Robinson, Nueva álgebra elemental: que contiene los rudimentos de la ciencia para escuelas y academias , Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, página 7
13. Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Álgebra y trigonometría: un enfoque gráfico , Editor: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X , 9780618851959, 1114 páginas, página 6 
14. Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Notación algebraica", en Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook , editor Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827 , 9789812738820, página 68 
15. David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
16. John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
17. Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
18. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153, 9789380298153, page 212
19. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN 0817641327, 9780817641320, page 17
20. S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, ISBN 3540693351, 9783540693352, page 13
21. C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Publisher New Age International, 1994, ISBN 812240670X, 9788122406702, page 20
22. Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140, 9781449313142, page 24
23. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586, 9781598631586, page 46
24. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484, 9781593271480, page 72
25. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN 0883857367, 9780883857366, page 75
26. Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii
27. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
28. Ron Larson, Kimberly Nolting, Álgebra elemental , Editor: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275 , 9780547102276, 622 páginas, página 210 
29. Charles P. McKeague, Álgebra elemental , Editor: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217 , 9780840064219, 571 páginas, página 49 
30. Andrew Marx, Método abreviado de Álgebra I: una forma rápida y sencilla de aumentar sus conocimientos de Álgebra I y sus resultados en los exámenes , Editorial Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880 , 9781419552885, 288 páginas, página 51 
31. Mark Clark, Cynthia Anfinson, Álgebra inicial: conexión de conceptos a través de aplicaciones , editor Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380 , 9780534419387, 793 páginas, página 134 
32. Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Álgebra elemental e intermedia , editor Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689 , 9781111567682, 1163 páginas, página 493 
33. Douglas Downing, Álgebra de manera fácil , Serie educativa del editor Barron, 2003, ISBN 0764119729 , 9780764119729, 392 páginas, página 20 
34. Ron Larson, Robert Hostetler, Álgebra intermedia , editor Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524 , 9780618753529, 857 páginas, página 96 
35. "¿Cómo se llama la siguiente propiedad de la desigualdad?". Intercambio de pila . 29 de noviembre de 2014 . Consultado el 4 de mayo de 2018 .
36. Chris Carter, Física: hechos y práctica para un nivel , Editor Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X , 9780199147687, 144 páginas, página 50 
37. Slavin, Steve (1989). Todas las matemáticas que necesitarás. John Wiley e hijos . pag. 72.ISBN​ 0-471-50636-2.
38. Sinha, La guía Pearson sobre aptitud cuantitativa para CAT 2/e Editor: Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723666 , 9788131723661, 599 páginas, página 195 
39. Cynthia Y. Young , Precálculo , editor John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849 , 9780471756842, 1175 páginas, página 699 
40. Mary Jane Sterling, Álgebra II para principiantes , Editor: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819 , 9780471775812, 384 páginas, página 37 
41. John T. Irwin, El misterio de una solución: Poe, Borges y la historia detectivesca analítica , Editor JHU Press, 1996, ISBN 0801854660 , 9780801854668, 512 páginas, página 372 
42. Sharma/khattar, Guía Pearson de matemáticas objetivas para exámenes de ingreso a ingeniería, 3/E , editor Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631 , 9788131723630, 1248 páginas, página 621 
43. Aven Choo, Guía de revisión 3 de matemáticas adicionales de LMAN OL , Editor Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011 , 9789810600013, página 105 
44. John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Editor Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 525 
45. Elementos de álgebra de Euler Archivado el 13 de abril de 2011 en la Wayback Machine.
46. Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francisco; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4 de mayo de 2018). "Elementos de Álgebra". Longman, Orme . Consultado el 4 de mayo de 2018 a través de Google Books.

enlaces externos

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