En matemáticas , un espacio homogéneo principal , [1] o torsor , para un grupo G es un espacio homogéneo X para G en el que el subgrupo estabilizador de cada punto es trivial. De manera equivalente, un espacio principal homogéneo para un grupo G es un conjunto no vacío X sobre el cual G actúa libre y transitivamente (lo que significa que, para cualquier x , y en X , existe un g único en G tal que x · g = y , donde · denota la acción (derecha) de G sobre X ). Una definición análoga es válida en otras categorías , donde, por ejemplo,
Si G es nobeliano entonces hay que distinguir entre torsores izquierdo y derecho según si la acción es de izquierda o derecha. En este artículo, utilizaremos las acciones correctas.
Para expresar la definición más explícitamente, X es un espacio homogéneo G -torsor o G -principal si X no está vacío y está equipado con un mapa (en la categoría apropiada) X × G → X tal que
para todo x ∈ X y todo g , h ∈ G , y tal que el mapa X × G → X × X dado por
Es un isomorfismo (de conjuntos, o espacios topológicos o..., según corresponda, es decir, en la categoría en cuestión).
Tenga en cuenta que esto significa que X y G son isomorfos (en la categoría en cuestión; no como grupos: consulte lo siguiente). Sin embargo (y este es el punto esencial) no hay ningún punto de "identidad" preferido en X. Es decir, X se parece exactamente a G , excepto que se ha olvidado cuál es el punto de la identidad. (Este concepto se utiliza a menudo en matemáticas como una forma de pasar a un punto de vista más intrínseco, bajo el título "desechar el origen".)
Como X no es un grupo, no podemos multiplicar elementos; podemos, sin embargo, tomar su "cociente". Es decir, existe un mapa X × X → G que envía ( x , y ) al elemento único g = x \ y ∈ G tal que y = x · g .
Sin embargo, la composición de esta última operación con la acción de grupo correcta produce una operación ternaria X × ( X × X ) → X , que sirve como una generalización afín de la multiplicación de grupos y que es suficiente para caracterizar un espacio homogéneo principal algebraicamente y caracteriza intrínsecamente al grupo al que está asociado. Si denotamos el resultado de esta operación ternaria, entonces las siguientes identidades
bastará con definir un espacio principal homogéneo, mientras que la propiedad adicional
Identifica aquellos espacios que están asociados con grupos abelianos. El grupo puede definirse como cocientes formales sujetos a la relación de equivalencia.
con el producto del grupo, identidad e inversa definidos, respectivamente, por
y la acción grupal por
Cada grupo G puede considerarse en sí mismo como un G -torsor izquierdo o derecho bajo la acción natural de la multiplicación izquierda o derecha.
Otro ejemplo es el concepto de espacio afín : la idea del espacio afín A subyacente a un espacio vectorial V se puede expresar sucintamente diciendo que A es un espacio homogéneo principal para V que actúa como grupo aditivo de traslaciones.
Las banderas de cualquier politopo regular forman un torsor para su grupo de simetría.
Dado un espacio vectorial V, podemos tomar G como el grupo lineal general GL( V ) y X como el conjunto de todas las bases (ordenadas) de V . Entonces G actúa sobre X del mismo modo que actúa sobre vectores de V ; y actúa transitivamente ya que cualquier base puede transformarse vía G en cualquier otra. Es más, una transformación lineal que fija cada vector de una base fijará todos los v en V y, por tanto, será el elemento neutro del grupo lineal general GL( V ): de modo que X es de hecho un espacio homogéneo principal . Una forma de seguir la dependencia de la base en un argumento de álgebra lineal es rastrear las variables x en X . De manera similar, el espacio de bases ortonormales (la variedad Stiefel de n -marcos ) es un espacio homogéneo principal para el grupo ortogonal .
En la teoría de categorías , si dos objetos X e Y son isomorfos, entonces los isomorfismos entre ellos, Iso( X , Y ), forman un torsor para el grupo de automorfismos de X , Aut( X ), y lo mismo para Aut( Y ); una elección de isomorfismo entre los objetos da lugar a un isomorfismo entre estos grupos e identifica al torsor con estos dos grupos, dándole al torsor una estructura de grupo (ya que ahora tiene un punto base ).
El concepto de espacio homogéneo principal es un caso especial del de fibrado principal : significa un fibrado principal con base en un solo punto. En otras palabras, la teoría local de fibrados principales es la de una familia de espacios principales homogéneos que dependen de algunos parámetros en la base. El "origen" puede ser proporcionado por una sección del paquete (generalmente se supone que tales secciones existen localmente en la base ), siendo el paquete localmente trivial , de modo que la estructura local es la de un producto cartesiano . Pero muchas veces las secciones no existirán globalmente. Por ejemplo, un colector diferencial M tiene un haz principal de marcos asociado a su haz tangente . Una sección global existirá (por definición) sólo cuando M sea paralelizable , lo que implica fuertes restricciones topológicas.
En teoría de números hay una razón (superficialmente diferente) para considerar espacios principales homogéneos, para curvas elípticas E definidas sobre un campo K (y variedades abelianas más generales ). Una vez entendido esto, se recopilaron varios otros ejemplos bajo el título, para otros grupos algebraicos : formas cuadráticas para grupos ortogonales y variedades de Severi-Brauer para grupos lineales proyectivos que son dos.
La razón del interés por las ecuaciones diofánticas , en el caso de la curva elíptica, es que K puede no ser algebraicamente cerrado . Pueden existir curvas C que no tengan ningún punto definido sobre K , y que se vuelvan isomórficas sobre un campo mayor que E , que por definición tiene un punto sobre K para servir como elemento de identidad para su ley de la suma. Es decir, para este caso debemos distinguir C que tienen género 1, de curvas elípticas E que tienen un punto K (o, en otras palabras, proporcionar una ecuación diofántica que tiene solución en K ). Las curvas C resultan ser torsores sobre E , y forman un conjunto que lleva una estructura rica en el caso de que K sea un cuerpo numérico (la teoría del grupo de Selmer ). De hecho, una curva cúbica plana típica C sobre Q no tiene ninguna razón particular para tener un punto racional ; el modelo estándar de Weierstrass siempre lo hace, es decir , el punto en el infinito, pero necesitas un punto sobre K para poner C en esa forma sobre K.
Esta teoría se ha desarrollado prestando gran atención al análisis local , lo que llevó a la definición del grupo Tate-Shafarevich . En general, el enfoque de tomar la teoría de torsor, fácil sobre un campo algebraicamente cerrado , y tratar de volver a "bajar" a un campo más pequeño es un aspecto de descenso . Esto conduce inmediatamente a cuestiones de cohomología de Galois , ya que los torsors representan clases de cohomología de grupo H 1 .
El concepto de espacio principal homogéneo también se puede globalizar de la siguiente manera. Sea X un "espacio" (un esquema / variedad / espacio topológico , etc.), y sea G un grupo sobre X , es decir, un objeto de grupo en la categoría de espacios sobre X. En este caso, un (derecho, digamos) G -torsor E en X es un espacio E (del mismo tipo) sobre X con una acción G (derecha) tal que el morfismo
dada por
es un isomorfismo en la categoría apropiada , y tal que E es localmente trivial en X , en el sentido de que E → X adquiere una sección localmente en X. Las clases de isomorfismo de torsors en este sentido corresponden a clases en el grupo de cohomología H 1 ( X , G ).
Cuando estamos en la categoría de variedad suave , entonces un G -torsor (para G un grupo de Lie ) es precisamente un paquete G principal como se definió anteriormente.
Ejemplo: si G es un grupo de Lie compacto (digamos), entonces es un G -torsor sobre el espacio de clasificación .
