En el campo de las matemáticas llamado álgebra abstracta , un álgebra de división es, a grandes rasgos, un álgebra sobre un campo en el que la división , excepto por cero, siempre es posible.
Formalmente, comenzamos con un álgebra D distinta de cero sobre un campo . Llamamos a D un álgebra de división si para cualquier elemento a en D y cualquier elemento b distinto de cero en D existe precisamente un elemento x en D con a = bx y precisamente un elemento y en D tal que a = yb .
Para las álgebras asociativas , la definición se puede simplificar de la siguiente manera: un álgebra asociativa distinta de cero sobre un campo es un álgebra de división si y sólo si tiene un elemento identidad multiplicativo 1 y cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo (es decir, un elemento x con ax = xa = 1 ).
Los ejemplos más conocidos de álgebras de división asociativa son las reales de dimensión finita (es decir, álgebras sobre el campo R de números reales , que son de dimensión finita como un espacio vectorial sobre los reales). El teorema de Frobenius establece que hasta el isomorfismo existen tres álgebras de este tipo: los reales mismos (dimensión 1), el cuerpo de números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones (dimensión 4).
El pequeño teorema de Wedderburn establece que si D es un álgebra de división finita, entonces D es un cuerpo finito . [1]
Sobre un campo algebraicamente cerrado K (por ejemplo, los números complejos C ), no existen álgebras de división asociativa de dimensión finita, excepto el propio K. [2]
Las álgebras de división asociativa no tienen divisores de cero distintos de cero . Un álgebra asociativa unital de dimensión finita (sobre cualquier campo) es un álgebra de división si y sólo si no tiene divisores cero distintos de cero.
Siempre que A es un álgebra unital asociativa sobre el campo F y S es un módulo simple sobre A , entonces el anillo de endomorfismo de S es un álgebra de división sobre F ; toda álgebra de división asociativa sobre F surge de esta manera.
El centro de un álgebra de división asociativa D sobre el campo K es un campo que contiene K. La dimensión de tal álgebra sobre su centro, si es finita, es un cuadrado perfecto : es igual al cuadrado de la dimensión de un subcampo máximo de D sobre el centro. Dado un campo F , las clases de equivalencia de Brauer de álgebras de división asociativa simples (contienen sólo ideales bilaterales triviales) cuyo centro es F y que son de dimensión finita sobre F se pueden convertir en un grupo, el grupo de Brauer del campo F.
Una forma de construir álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre campos arbitrarios viene dada por las álgebras de cuaterniones (ver también cuaterniones ).
Para las álgebras de división asociativa de dimensión infinita, los casos más importantes son aquellos en los que el espacio tiene alguna topología razonable . Véanse, por ejemplo, álgebras de división normada y álgebras de Banach .
Si no se supone que el álgebra de división sea asociativa, normalmente se impone alguna condición más débil (como la alternatividad o la asociatividad de potencia ). Consulte álgebra sobre un campo para obtener una lista de dichas condiciones.
Sobre los reales hay (hasta el isomorfismo) sólo dos álgebras de división unitarias conmutativas de dimensión finita: los reales mismos y los números complejos. Por supuesto, ambos son asociativos. Para un ejemplo no asociativo, considere los números complejos con multiplicación definida tomando el conjugado complejo de la multiplicación habitual:
Esta es un álgebra de división conmutativa, no asociativa, de dimensión 2 sobre los reales, y no tiene elemento unitario. Hay infinitas otras álgebras divisionales reales no isomorfas, conmutativas, no asociativas y de dimensión finita, pero todas tienen dimensión 2.
De hecho, todo álgebra de división conmutativa real de dimensión finita es unidimensional o bidimensional. Esto se conoce como teorema de Hopf y se demostró en 1940. La demostración utiliza métodos de topología . Aunque se encontró una prueba posterior utilizando geometría algebraica , no se conoce ninguna prueba algebraica directa. El teorema fundamental del álgebra es un corolario del teorema de Hopf.
Dejando de lado el requisito de la conmutatividad, Hopf generalizó su resultado: cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe tener una dimensión una potencia de 2.
Trabajos posteriores demostraron que, de hecho, cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe ser de dimensión 1, 2, 4 u 8. Esto fue demostrado de forma independiente por Michel Kervaire y John Milnor en 1958, nuevamente utilizando técnicas de topología algebraica , en particular K. -teoría . Adolf Hurwitz había demostrado en 1898 que la identidad se mantenía sólo para las dimensiones 1, 2, 4 y 8. [3] (Ver el teorema de Hurwitz .) Varios de los primeros matemáticos abordaron el desafío de construir un álgebra de división de tres dimensiones. Kenneth O. May examinó estos intentos en 1966. [4]
Cualquier álgebra de división real de dimensión finita sobre los reales debe ser
Se sabe lo siguiente acerca de la dimensión de un álgebra de división A de dimensión finita sobre un campo K :
Podemos decir que un álgebra A tiene inversos multiplicativos si para cualquier elemento distinto de cero hay un elemento con . Un álgebra asociativa tiene inversos multiplicativos si y sólo si es un álgebra de división. Sin embargo, esto falla en el caso de álgebras no asociativas. Los sedeniones son un álgebra no asociativa sobre números reales que tiene inversos multiplicativos, pero no es un álgebra de división. Por otro lado, podemos construir un álgebra de división sin inversos multiplicativos tomando los cuaterniones y modificando el producto, estableciendo algún número real pequeño distinto de cero y dejando el resto de la tabla de multiplicar sin cambios. El elemento entonces tiene inversas derecha e izquierda, pero no son iguales.
