En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , la asociatividad de potencias es una propiedad de una operación binaria que es una forma débil de asociatividad .
Se dice que un álgebra (o más generalmente un magma ) es asociativo en potencia si la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa. Concretamente, esto significa que si un elemento realiza una operación por sí mismo varias veces, no importa en qué orden se realicen las operaciones, así por ejemplo .
Cada álgebra asociativa es asociativa de poder, pero también lo son todas las demás álgebras alternativas (como los octoniones , que no son asociativos) e incluso las álgebras flexibles no alternativas como los sedeniones y las álgebras de Okubo . Cualquier álgebra cuyos elementos sean idempotentes también es asociativa de poder.
La exponenciación a la potencia de cualquier número entero positivo se puede definir consistentemente siempre que la multiplicación sea asociativa en potencia. Por ejemplo, no es necesario distinguir si x 3 debe definirse como ( xx ) x o como x ( xx ), ya que son iguales. La exponenciación a la potencia de cero también se puede definir si la operación tiene un elemento de identidad , por lo que la existencia de elementos de identidad es útil en contextos asociativos de poder.
Sobre un campo de característica 0, un álgebra es asociativa de potencia si y sólo si satisface y , donde está el asociador (Albert 1948).
Sobre un campo infinito de características primarias no existe un conjunto finito de identidades que caracterice la asociatividad de poder, pero hay infinitos conjuntos independientes, como lo describe Gainov (1970):
Una ley de sustitución es válida para álgebras asociativas de potencias reales con unidad, que básicamente afirma que la multiplicación de polinomios funciona como se esperaba. Para f un polinomio real en x , y para cualquier a en tal álgebra, defina f ( a ) como el elemento del álgebra resultante de la sustitución obvia de a en f . Entonces, para dos polinomios cualesquiera f y g , tenemos que ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .
![{\displaystyle [x,x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02199a10c424652179f6065ef18b44824421efc7)
![{\displaystyle [x^{2},x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab9dafbb050f122cd8c615fb2e55fe52790fab2)
![{\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd5b14e110f57e4723f23be0adca6d1e827f6f4)
![{\displaystyle [x,x^{2},x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a35bd1ab74706f51dc2ba3d1b5fd6fe41d4b84)
![{\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a57ee80312c742dd228f682e0230b66fc83bdf7)
