Principio de explosión

Teorema en lógica formal

En la lógica clásica , la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares , el principio de explosión ^{[a] [b]} es la ley según la cual cualquier enunciado puede probarse a partir de una contradicción . ^{[1] [2] [3]} Es decir, a partir de una contradicción, cualquier proposición (incluida su negación ) puede inferirse; esto se conoce como explosión deductiva . ^{[4] [5]}

La prueba de este principio fue dada por primera vez por el filósofo francés del siglo XII Guillermo de Soissons . ^[6] Debido al principio de explosión, la existencia de una contradicción ( inconsistencia ) en un sistema axiomático formal es desastrosa; dado que cualquier enunciado puede probarse, trivializa los conceptos de verdad y falsedad. ^[7] Alrededor del cambio de siglo XX, el descubrimiento de contradicciones como la paradoja de Russell en los fundamentos de las matemáticas amenazó así toda la estructura de las matemáticas. Matemáticos como Gottlob Frege , Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem pusieron mucho esfuerzo en revisar la teoría de conjuntos para eliminar estas contradicciones, lo que resultó en la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Para demostrar este principio, consideremos dos afirmaciones contradictorias: «Todos los limones son amarillos» y «No todos los limones son amarillos», y supongamos que ambas son verdaderas. Si ese es el caso, se puede demostrar cualquier cosa, por ejemplo, la afirmación de que « los unicornios existen», utilizando el siguiente argumento:

1. Sabemos que “no todos los limones son amarillos”, como se ha asumido como cierto.
2. Sabemos que “todos los limones son amarillos”, como se ha asumido como cierto.
3. Por lo tanto, la afirmación de dos partes "Todos los limones son amarillos o existen los unicornios" también debe ser verdadera, ya que la primera parte de la afirmación ("Todos los limones son amarillos") ya se ha asumido, y el uso de " o " significa que si incluso una parte de la afirmación es verdadera, la afirmación en su conjunto también debe ser verdadera.
4. Sin embargo, como también sabemos que "No todos los limones son amarillos" (como se ha asumido), la primera parte es falsa y, por lo tanto, la segunda parte debe ser verdadera para garantizar que la afirmación de dos partes sea verdadera, es decir, que los unicornios existen (esta inferencia se conoce como silogismo disyuntivo ).
5. El procedimiento puede repetirse para demostrar que los unicornios no existen (lo que demuestra una contradicción adicional, donde los unicornios existen y no existen), así como cualquier otra fórmula bien formada . Por lo tanto, hay una explosión de afirmaciones verdaderas.

En una solución diferente a los problemas planteados por el principio de explosión, algunos matemáticos han ideado teorías alternativas de la lógica llamadas lógicas paraconsistentes , que permiten demostrar algunas afirmaciones contradictorias sin afectar el valor de verdad de (todas) las demás afirmaciones. ^[7]

Representación simbólica

En lógica simbólica , el principio de explosión se puede expresar esquemáticamente de la siguiente manera: ^{[8] [9]}

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ Para cualesquiera afirmaciones P y Q , si P y no P son ambas verdaderas, entonces se sigue lógicamente que Q es verdadera.

Prueba

A continuación se presenta el argumento de Lewis , ^[10] una prueba formal del principio de explosión utilizando lógica simbólica .

Esta prueba fue publicada por CI Lewis y lleva su nombre, aunque los lógicos medievales conocían versiones de ella. ^{[11] [12] [10]}

Esta es simplemente la versión simbólica del argumento informal dado en la introducción, con la posición de "todos los limones son amarillos" y la posición de "los unicornios existen". Comenzamos asumiendo que (1) todos los limones son amarillos y que (2) no todos los limones son amarillos. De la proposición de que todos los limones son amarillos, inferimos que (3) o bien todos los limones son amarillos o bien existen los unicornios. Pero luego de esto y del hecho de que no todos los limones son amarillos, inferimos que (4) los unicornios existen por silogismo disyuntivo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Argumento semántico

Un argumento alternativo a favor del principio surge de la teoría de modelos . Una oración es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones solo si cada modelo de es un modelo de . Sin embargo, no hay ningún modelo del conjunto contradictorio . A fortiori , no hay ningún modelo de que no sea un modelo de . Por lo tanto, vacuamente, cada modelo de es un modelo de . Por lo tanto es una consecuencia semántica de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$

Lógica paraconsistente

Se han desarrollado lógicas paraconsistentes que permiten operadores formadores de subcontrarios . Los lógicos paraconsistentes teóricos de modelos a menudo niegan el supuesto de que no puede haber ningún modelo de y conciben sistemas semánticos en los que existen tales modelos. Alternativamente, rechazan la idea de que las proposiciones se puedan clasificar como verdaderas o falsas. Las lógicas paraconsistentes teóricas de pruebas generalmente niegan la validez de uno de los pasos necesarios para derivar una explosión, que normalmente incluyen el silogismo disyuntivo , la introducción de disyunción y el reductio ad absurdum . ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$

Uso

El valor metamatemático del principio de explosión es que, para cualquier sistema lógico en el que se cumpla este principio, cualquier teoría derivada que demuestre ⊥ (o una forma equivalente, ) carece de valor porque todos sus enunciados se convertirían en teoremas , lo que haría imposible distinguir la verdad de la falsedad. Es decir, el principio de explosión es un argumento a favor de la ley de no contradicción en la lógica clásica, porque sin él todos los enunciados verdaderos carecen de sentido. ${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$

La reducción de la fuerza de la prueba de las lógicas sin ex falso se analiza en la lógica mínima .

Véase también

• Consequentia mirabilis - Ley de Clavio
• Dialeteísmo : creencia en la existencia de verdaderas contradicciones
• Ley del tercero excluido : toda proposición es verdadera o falsa
• Ley de no contradicción : ninguna proposición puede ser a la vez verdadera y falsa.
• Lógica paraconsistente : una familia de lógicas utilizadas para abordar contradicciones
• Paradoja de implicación : una aparente paradoja derivada del principio de explosión
• Reducción al absurdo : concluir que una proposición es falsa porque produce una contradicción.
• Trivialismo : la creencia de que todas las afirmaciones de la forma "P y no-P" son verdaderas.

Notas

1. Latín : ex falso [sequitur] quodlibet , 'de la falsedad, cualquier cosa [sigue]'; o ex contradictione [sequitur] quodlibet , 'de la contradicción, cualquier cosa [sigue]'.
2. También conocido como principio de Pseudo-Escoto (falsamente atribuido a Duns Escoto ).
3. Burgess2005 utiliza 2 y 3 como premisas en lugar de ésta

Referencias

1. Carnielli, Walter ; Marcos, João (2001). "Ex contradictione non sequitur quodlibet" (PDF) . Boletín de Razonamiento y Conocimiento Avanzados . 1 : 89–109.^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Smith, Peter (2020). Introducción a la lógica formal (2.ª ed.). Cambridge University Press.Capítulo 17.
3. MacFarlane, John (2021). Lógica filosófica: una introducción contemporánea . Routledge.Capítulo 7.
4. Başkent, Can (2013). "Algunas propiedades topológicas de modelos paraconsistentes". Síntesis . 190 (18): 4023. doi :10.1007/s11229-013-0246-8. S2CID  9276566.
5. Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: consistencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y la unidad de la ciencia. Vol. 40. Springer. ix. doi :10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN. 978-3-319-33203-1.
6. Priest, Graham . 2011. "¿Qué tienen de malo las contradicciones?". En The Law of Non-Contradicton , editado por Priest, Beal y Armour-Garb. Oxford: Clarendon Press. pág. 25.
7. McKubre-Jordens, Maarten (agosto de 2011). "Esto no es una zanahoria: matemáticas paraconsistentes". Plus Magazine . Millennium Mathematics Project . Consultado el 14 de enero de 2017 .
8. de Swart, Harrie (2018). Lógica filosófica y matemática . Springer.pág. 47.
9. Gamut, LTF (1991). Lógica, lenguaje y significado, volumen 1. Introducción a la lógica . University of Chicago Press.pág. 139.
10. MacFarlane, John (2021). Lógica filosófica: una introducción contemporánea . Routledge. pág. 171. ISBN 978-1-315-18524-8.
11. Lewis, CI; Langford, CH (1959). Lógica simbólica (2.ª ed.). Dover. pág. 250. ISBN 9780486601700.
12. Burgess, John P (2005). Manual de Oxford de filosofía de las matemáticas y la lógica (ed. Stewart Shapiro) . Oxford University Press. pág. 732. ISBN 9780195325928.