En geometría , un triángulo isósceles ( / aɪ ˈ s ɒ s ə l iː z / ) es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud y, a veces, que tiene al menos dos lados de igual longitud; esta última versión incluye así el triángulo equilátero como un caso especial . Ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles , el triángulo áureo y las caras de bipirámides y ciertos sólidos catalanes .
El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las matemáticas del antiguo Egipto y a las matemáticas babilónicas . Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración desde épocas incluso más tempranas y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo en los frontones y frontones de los edificios.
Los dos lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base del triángulo. Las otras dimensiones del triángulo, como su altura, área y perímetro, se pueden calcular mediante fórmulas simples a partir de las longitudes de los catetos y la base. Todo triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la mediatriz de su base. Los dos ángulos opuestos a los catetos son iguales y siempre son agudos , por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso depende únicamente del ángulo entre sus dos catetos.
Euclides definió un triángulo isósceles como un triángulo con exactamente dos lados iguales, [1] pero los tratamientos modernos prefieren definir los triángulos isósceles como aquellos que tienen al menos dos lados iguales. La diferencia entre estas dos definiciones es que la versión moderna hace de los triángulos equiláteros (con tres lados iguales) un caso especial de triángulos isósceles. [2] Un triángulo que no es isósceles (que tiene tres lados desiguales) se llama escaleno . [3] "Isósceles" se deriva de las raíces griegas "isos" (igual) y "skelos" (pierna). La misma palabra se utiliza, por ejemplo, para trapecios isósceles , trapecios con dos lados iguales, [4] y para conjuntos isósceles , conjuntos de puntos cada tres de los cuales forman un triángulo isósceles. [5]
En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base . El ángulo comprendido por los catetos se llama ángulo de vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman ángulos de base . [6] El vértice opuesto a la base se llama ápice . [7] En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado puede llamarse base. [8]
Que un triángulo isósceles sea agudo, recto u obtuso depende únicamente del ángulo en su vértice. En la geometría euclidiana , los ángulos de la base no pueden ser obtusos (mayores a 90°) ni rectos (iguales a 90°) porque sus medidas sumarían al menos 180°, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. [8] Dado que un triángulo es obtuso o recto si y sólo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y sólo si su ángulo en el vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. [7] En el libro Flatland de Edwin Abbott , esta clasificación de formas se utilizó como una sátira de la jerarquía social : los triángulos isósceles representaban a la clase trabajadora , con los triángulos isósceles agudos más arriba en la jerarquía que los triángulos isósceles rectos u obtusos. [9]
Además del triángulo rectángulo isósceles , se han estudiado otras formas específicas de triángulos isósceles. Estos incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), [10] el triángulo áureo y el gnomon dorado (dos triángulos isósceles cuyos lados y base están en la proporción áurea ), [11] el triángulo 80-80-20 que aparece en el rompecabezas de los ángulos adventicios de Langley , [12] y el triángulo 30-30-120 del mosaico triangular triakis . Cinco sólidos catalanes , el triakis tetraedro , triakis octaedro , tetrakis hexaedro , pentakis dodecaedro y triakis icosaedro , tienen cada uno caras de triángulo isósceles, al igual que infinitas pirámides [8] y bipirámides . [13]
Para cualquier triángulo isósceles, coinciden los siguientes seis segmentos de recta :
Su longitud común es la altura del triángulo. Si el triángulo tiene lados iguales de longitud y base de longitud , todas las fórmulas generales del triángulo para las longitudes de estos segmentos se simplifican a [16]
Esta fórmula también se puede derivar del teorema de Pitágoras utilizando el hecho de que la altitud biseca la base y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes. [17]
La recta de Euler de cualquier triángulo pasa por el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres altitudes), su centroide (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus tres lados, que también es la centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) todos se encuentran en el eje de simetría del triángulo, de lo que se deduce que la línea de Euler coincide con el eje de simetría. El incentro del triángulo también se encuentra en la recta de Euler, algo que no ocurre con otros triángulos. [15] Si dos de una bisectriz, mediana o altitud coinciden en un triángulo dado, ese triángulo debe ser isósceles. [18]
El área de un triángulo isósceles se puede derivar de la fórmula de su altura y de la fórmula general del área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura: [16]
La misma fórmula del área también se puede derivar de la fórmula de Herón para el área de un triángulo a partir de sus tres lados. Sin embargo, aplicar la fórmula de Heron directamente puede ser numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud del lado en esos triángulos. [19]
Si se conocen el ángulo del vértice y las longitudes de los catetos de un triángulo isósceles, entonces el área de ese triángulo es: [20]
Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo incluido. [21]
El perímetro de un triángulo isósceles con lados y base iguales es igual a [16]
Como en cualquier triángulo, el área y el perímetro están relacionados por la desigualdad isoperimétrica [22]
Esta es una desigualdad estricta para triángulos isósceles con lados desiguales a la base, y se convierte en igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también se pueden relacionar entre sí mediante la ecuación [23]
Si la base y el perímetro son fijos, entonces esta fórmula determina el área del triángulo isósceles resultante, que es el máximo posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. [24] Por otro lado, si el área y el perímetro son fijos, esta fórmula se puede utilizar para recuperar la longitud de la base, pero no de forma única: hay en general dos triángulos isósceles distintos con un área y un perímetro determinados . Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en igualdad, solo existe un triángulo, que es equilátero. [25]
Si los dos lados iguales tienen longitud y el otro lado tiene longitud , entonces la bisectriz del ángulo interno de uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface [26]
así como
y a la inversa, si se cumple la última condición, existe un triángulo isósceles parametrizado por y . [27]
El teorema de Steiner-Lehmus establece que todo triángulo con dos bisectrices de igual longitud es isósceles. Fue formulado en 1840 por CL Lehmus . Su otro homónimo, Jakob Steiner , fue uno de los primeros en ofrecer una solución. [28] Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulos internos, funciona para muchos (pero no todos) casos cuando, en cambio, dos bisectrices de ángulos externos son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 constituye un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulos iguales (dos internas y dos externas). [29]
Las fórmulas de inradio y circunradio para un triángulo isósceles pueden derivarse de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. [30] El radio del círculo inscrito de un triángulo isósceles con longitud de lado , base y altura es: [16]
El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo de vértice, además de tener también el área y el perímetro más grandes entre la misma clase de triángulos. [31]
El radio del círculo circunscrito es: [16]
El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia debajo del vértice.
Para cualquier triángulo isósceles, hay un único cuadrado con un lado colineal con la base del triángulo y las dos esquinas opuestas en sus lados. El triángulo de Calabi es un triángulo isósceles especial con la propiedad de que los otros dos cuadrados inscritos, con lados colineales con los lados del triángulo, son del mismo tamaño que el cuadrado base. [10] Un teorema mucho más antiguo, conservado en las obras de Héroe de Alejandría , establece que, para un triángulo isósceles con base y altura , la longitud del lado del cuadrado inscrito en la base del triángulo es [32]
Para cualquier número entero , cualquier triángulo se puede dividir en triángulos isósceles. [33] En un triángulo rectángulo , la mediana desde la hipotenusa (es decir, el segmento de recta desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice rectángulo) divide el triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo circunstante del triángulo rectángulo, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados. [34] De manera similar, un triángulo agudo se puede dividir en tres triángulos isósceles mediante segmentos de su circuncentro, [35] pero este método no funciona para triángulos obtusos, porque el circuncentro se encuentra fuera del triángulo. [30]
Generalizando la partición de un triángulo agudo, cualquier polígono cíclico que contenga el centro de su círculo circunscrito puede dividirse en triángulos isósceles por los radios de este círculo que pasan por sus vértices. El hecho de que todos los radios de un círculo tengan la misma longitud implica que todos estos triángulos son isósceles. Esta partición se puede utilizar para derivar una fórmula para el área del polígono en función de la longitud de sus lados, incluso para polígonos cíclicos que no contienen sus circuncentros. Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para triángulos y la fórmula de Brahmagupta para cuadriláteros cíclicos . [36]
Cualquiera de las diagonales de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles congruentes . De manera similar, una de las dos diagonales de una cometa la divide en dos triángulos isósceles, que no son congruentes excepto cuando la cometa es un rombo. [37]
Los triángulos isósceles aparecen comúnmente en arquitectura como formas de frontones y frontones . En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizó el triángulo obtuso isósceles; en la arquitectura gótica esto fue reemplazado por el triángulo isósceles agudo. [8]
En la arquitectura de la Edad Media se popularizó otra forma de triángulo isósceles: el triángulo isósceles egipcio. Este es un triángulo isósceles que es agudo, pero menos que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. [38] El triángulo isósceles egipcio volvió a utilizarse en la arquitectura moderna gracias al arquitecto holandés Hendrik Petrus Berlage . [39]
Las estructuras de armadura Warren , como los puentes, comúnmente se organizan en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para mayor resistencia. [40] Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos se pueden utilizar para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande hasta convertirse en una columna cilíndrica y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que se puede transportar más fácilmente. [41] El mismo patrón de mosaico forma la base del pandeo de Yoshimura , un patrón formado cuando superficies cilíndricas se comprimen axialmente, [42] y de la linterna de Schwarz , un ejemplo utilizado en matemáticas para mostrar que el área de una superficie lisa no siempre puede ser aproximado con precisión mediante poliedros que convergen a la superficie. [43]
En el diseño gráfico y las artes decorativas , los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo desde al menos el Neolítico temprano [44] hasta los tiempos modernos. [45] Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica , apareciendo de manera prominente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana , o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía , donde forman una imagen estilizada de un isla de montaña. [46]
También se han utilizado en diseños con significado religioso o místico, por ejemplo en el Sri Yantra de la práctica de meditación hindú . [47]
Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todas números reales , entonces cuando estas raíces se trazan en el plano complejo como un diagrama de Argand forman los vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real). . Esto se debe a que las raíces complejas son conjugadas complejas y, por tanto, son simétricas con respecto al eje real. [48]
En mecánica celeste , el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial de que los tres cuerpos formen un triángulo isósceles, porque suponer que los cuerpos están dispuestos de esta manera reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducirlo al Caso puntual lagrangiano resuelto cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Los primeros casos del problema de los tres cuerpos que demostraron tener oscilaciones ilimitadas fueron en el problema de los tres cuerpos isósceles. [49]
Mucho antes de que los antiguos matemáticos griegos estudiaran los triángulos isósceles , los practicantes de las matemáticas del Antiguo Egipto y de las matemáticas babilónicas sabían cómo calcular su área. Problemas de este tipo están incluidos en el Papiro Matemático de Moscú y el Papiro Matemático de Rhind . [50]
El teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales aparece como la Proposición I.5 de Euclides. [51] Este resultado ha sido llamado el puente asinorum (el puente de los asnos) o el teorema del triángulo isósceles. Las explicaciones rivales para este nombre incluyen la teoría de que se debe a que el diagrama utilizado por Euclides en su demostración del resultado se parece a un puente, o porque este es el primer resultado difícil en Euclides, y actúa para separar a aquellos que pueden entender la geometría de Euclides de aquellos. quien no puede. [52]
Una falacia bien conocida es la prueba falsa de la afirmación de que todos los triángulos son isósceles , publicada por primera vez por WW Rouse Ball en 1892, [53] y posteriormente republicada en el libro póstumo de Lewis Carroll Picture Book . [54] La falacia tiene sus raíces en la falta de reconocimiento de Euclides del concepto de intermediación y la ambigüedad resultante entre el interior y el exterior de las figuras. [55]
