Reciprocidad cuadrática

Da condiciones para la solubilidad de ecuaciones cuadráticas módulo de números primos.

Gauss publicó la primera y segunda pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática en los artículos 125-146 y 262 de Disquisitiones Arithmeticae en 1801.

En teoría de números , la ley de reciprocidad cuadrática es un teorema sobre aritmética modular que da condiciones para la solubilidad de ecuaciones cuadráticas módulo de números primos . Debido a su sutileza, tiene muchas formulaciones, pero la afirmación más estándar es:

Ley de reciprocidad cuadrática  :  Sean p y q números primos impares distintos y defina el símbolo de Legendre como:

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ for some integer }}n\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Esta ley, junto con sus complementos, permite el cálculo fácil de cualquier símbolo de Legendre, posibilitando determinar si existe una solución entera para cualquier ecuación cuadrática de la forma para un primo impar ; es decir, determinar el módulo de los "cuadrados perfectos" . Sin embargo, este es un resultado no constructivo : no ayuda en absoluto a encontrar una solución específica ; para ello se requieren otros métodos. Por ejemplo, en el caso de que se utilice el criterio de Euler , se puede dar una fórmula explícita para el módulo de "raíces cuadradas" de un residuo cuadrático , a saber, ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \pm a^{\frac {p+1}{4}}}$

en efecto,

${\displaystyle \left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.}$

Esta fórmula sólo funciona si se sabe de antemano que es un residuo cuadrático , lo cual se puede comprobar mediante la ley de reciprocidad cuadrática. ${\displaystyle a}$

El teorema de reciprocidad cuadrática fue conjeturado por Euler y Legendre y demostrado por primera vez por Gauss , ^[1] quien se refirió a él como el "teorema fundamental" en sus Disquisitiones Arithmeticae y sus artículos, escribiendo

Sin duda, el teorema fundamental debe considerarse como uno de los más elegantes de su tipo. (Artículo 151)

En privado, Gauss se refirió a él como el "teorema de oro". ^[2] Publicó seis pruebas y dos más se encontraron en sus artículos póstumos. En la actualidad hay más de 240 pruebas publicadas. ^[3] La prueba más corta conocida se incluye a continuación, junto con pruebas breves de los suplementos de la ley (los símbolos de Legendre de −1 y 2).

La generalización de la ley de reciprocidad a potencias superiores ha sido un problema importante en matemáticas y ha sido crucial para el desarrollo de gran parte de la maquinaria del álgebra , la teoría de números y la geometría algebraica modernas , culminando en la reciprocidad de Artin , la teoría de campos de clases y la teoría de Langlands. programa .

Ejemplos motivadores

La reciprocidad cuadrática surge de ciertos patrones sutiles de factorización que involucran números cuadrados perfectos. En esta sección damos ejemplos que conducen al caso general.

Factorizar norte 2  − 5

Considere el polinomio y sus valores para Las factorizaciones primas de estos valores se dan de la siguiente manera: ${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Los factores primos que dividen son , y todo primo cuyo dígito final sea o ; no aparecen números primos que terminen en o nunca. Ahora, es un factor primo de some siempre , es decir , siempre que 5 es un módulo de residuo cuadrático . Esto sucede para y aquellos primos con y los últimos números y son precisamente el módulo de residuos cuadráticos . Por lo tanto, excepto , tenemos que es un módulo de residuo cuadrático si y solo si es un módulo de residuo cuadrático . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n^{2}-5}$ ${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle p\equiv 1,4{\bmod {5}},}$ ${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$ ${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 5}$

La ley de reciprocidad cuadrática da una caracterización similar de los divisores primos de para cualquier primo q , lo que conduce a una caracterización para cualquier número entero . ${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$ ${\displaystyle q}$

Patrones entre residuos cuadráticos

Sea p un primo impar. Un número módulo p es un residuo cuadrático siempre que sea congruente con un cuadrado (mod p ); de lo contrario, es un no residuo cuadrático. ("Cuadrático" se puede omitir si queda claro por el contexto). Aquí excluimos el cero como caso especial. Entonces, como consecuencia del hecho de que el grupo multiplicativo de un campo finito de orden p es cíclico de orden p-1 , se cumplen las siguientes afirmaciones:

• Hay un número igual de residuos y no residuos cuadráticos; y
• El producto de dos residuos cuadráticos es un residuo, el producto de un residuo y un no residuo es un no residuo y el producto de dos no residuos es un residuo.

Para evitar dudas, estas afirmaciones no son válidas si el módulo no es primo. Por ejemplo, solo hay 3 residuos cuadráticos (1, 4 y 9) en el grupo multiplicativo módulo 15. Además, aunque 7 y 8 son no residuos cuadráticos, su producto 7x8 = 11 también es un no residuo cuadrático, en contraste al caso principal.

Los residuos cuadráticos son entradas en la siguiente tabla:

Esta tabla está completa para primos impares menores que 50. Para comprobar si un número m es un residuo cuadrático mod de uno de estos primos p , encuentre a ≡ m (mod p ) y 0 ≤ a < p . Si a está en la fila p , entonces m es un residuo (mod p ); si a no está en la fila p de la tabla, entonces m es un no residuo (mod p ).

La ley de reciprocidad cuadrática es la afirmación de que ciertos patrones encontrados en la tabla son verdaderos en general.

La versión de Legendre.

Otra forma de organizar los datos es ver qué primos son residuos y qué otros primos, como se ilustra en la siguiente tabla. La entrada en la fila p columna q es R si q es un residuo cuadrático (mod p ); si no es un residuo, la entrada es N.

Si la fila, la columna o ambas son ≡ 1 (mod 4), la entrada es azul o verde; si tanto la fila como la columna son ≡ 3 (mod 4), es amarillo o naranja.

Las entradas azul y verde son simétricas alrededor de la diagonal: la entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es R (resp N ).

Los amarillos y naranjas, por otro lado, son antisimétricos: la entrada para la fila p , columna q es R (resp. N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es N (resp. R ).

La ley de reciprocidad establece que estos patrones son válidos para todo p y q .

Ordenar las filas y columnas mod 4 hace que el patrón sea más claro.

Suplementos a la reciprocidad cuadrática

Los suplementos proporcionan soluciones a casos específicos de reciprocidad cuadrática. A menudo se citan como resultados parciales, sin tener que recurrir al teorema completo.

q = ±1 y el primer suplemento

Trivialmente, 1 es un residuo cuadrático para todos los números primos. La pregunta se vuelve más interesante para −1. Al examinar la tabla, encontramos −1 en las filas 5, 13, 17, 29, 37 y 41, pero no en las filas 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 o 47. El primer conjunto de números primos son todos congruentes. a 1 módulo 4, y estos últimos son congruentes con 3 módulo 4.

Primer suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia tiene solución si y sólo si es congruente con 1 módulo 4. ${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$

q = ±2 y el segundo suplemento

Al examinar la tabla, encontramos 2 en las filas 7, 17, 23, 31, 41 y 47, pero no en las filas 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 o 43. Los primeros primos son todos ≡ ± 1 (mod 8), y estos últimos son todos ≡ ±3 (mod 8). Esto lleva a

Segundo suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia tiene solución si y solo si es congruente con ±1 módulo 8. ${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$

−2 está en las filas 3, 11, 17, 19, 41, 43, pero no en las filas 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 o 47. Los primeros son ≡ 1 o ≡ 3 (mod 8) , y estos últimos son ≡ 5, 7 (mod 8).

q = ±3

3 está en las filas 11, 13, 23, 37 y 47, pero no en las filas 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 o 43. Las primeras son ≡ ±1 (mod 12) y las segundas son todos ≡ ±5 (mod 12).

−3 está en las filas 7, 13, 19, 31, 37 y 43, pero no en las filas 5, 11, 17, 23, 29, 41 o 47. Las primeras son ≡ 1 (mod 3) y las segundas ≡ 2 (mod 3).

Dado que el único residuo (mod 3) es 1, vemos que −3 es un residuo cuadrático módulo de cada primo que es un residuo módulo 3.

q = ±5

5 está en las filas 11, 19, 29, 31 y 41, pero no en las filas 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 o 47. Las primeras son ≡ ±1 (mod 5) y las segundas son ≡ ±2 (módulo 5).

Dado que los únicos residuos (mod 5) son ±1, vemos que 5 es un residuo cuadrático módulo cada primo que es un residuo módulo 5.

−5 está en las filas 3, 7, 23, 29, 41, 43 y 47, pero no en las filas 11, 13, 17, 19, 31 o 37. Los primeros son ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ) y estos últimos son ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

mayor q

Las observaciones sobre −3 y 5 continúan siendo válidas: −7 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 7, −11 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 11, 13 es un residuo (mod p ) si y sólo si p es un residuo módulo 13, etc. Las reglas de aspecto más complicado para los caracteres cuadráticos de 3 y −5, que dependen de congruencias módulo 12 y 20 respectivamente, son simplemente las de − 3 y 5 trabajando con el primer suplemento.

Ejemplo. Para que −5 sea un residuo (mod p ), tanto 5 como −1 tienen que ser residuos (mod p ) o ambos tienen que ser no residuos: es decir, p ≡ ±1 (mod 5) y p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ ±2 (mod 5) y p ≡ 3 (mod 4). Usando el teorema del resto chino, estos son equivalentes a p ≡ 1, 9 (mod 20) o p ≡ 3, 7 (mod 20).

La generalización de las reglas para −3 y 5 es la declaración de reciprocidad cuadrática de Gauss.

Declaración del teorema

Reciprocidad cuadrática (enunciado de Gauss). Si , entonces la congruencia tiene solución si y sólo si tiene solución. Si y , entonces la congruencia tiene solución si y sólo si tiene solución. ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}}$

Reciprocidad cuadrática (declaración combinada). Definir . Entonces la congruencia es solucionable si y sólo si es solucionable. ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}}$

Reciprocidad cuadrática (declaración de Legendre). Si p o q son congruentes con 1 módulo 4, entonces: tiene solución si y sólo si tiene solución. Si p y q son congruentes con 3 módulo 4, entonces: tiene solución si y sólo si no tiene solución. ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$

Esta última es inmediatamente equivalente a la forma moderna indicada en la introducción anterior. Es un ejercicio sencillo demostrar que las afirmaciones de Legendre y Gauss son equivalentes: no requiere más que el primer suplemento y los datos sobre la multiplicación de residuos y no residuos.

Prueba

Al parecer, la prueba más corta conocida hasta el momento fue publicada por B. Veklych en el American Mathematical Monthly . ^[4]

Pruebas de los suplementos.

El valor del símbolo de Legendre (utilizado en la prueba anterior) se deriva directamente del criterio de Euler : ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}}$

según el criterio de Euler, pero ambos lados de esta congruencia son números de la forma , por lo que deben ser iguales. ${\displaystyle \pm 1}$

Se puede concluir si es un residuo cuadrático si conocemos el número de soluciones de la ecuación con las que se puede resolver mediante métodos estándar. Es decir, todas sus soluciones se pueden agrupar en octillizos de la forma , y lo que queda son cuatro soluciones de la forma y posiblemente cuatro soluciones adicionales donde y , que existen precisamente si es un residuo cuadrático. Es decir, es un residuo cuadrático precisamente si el número de soluciones de esta ecuación es divisible por . Y esta ecuación se puede resolver aquí de la misma manera que sobre los números racionales: sustituyendo , donde exigimos que (omitiendo las dos soluciones ), entonces la ecuación original se transforma en ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$ ${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$ ${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle (1,\pm 1)}$

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

Aquí puede tener cualquier valor que no haga que el denominador sea cero – para lo cual hay posibilidades (es decir , si es un residuo, si no) – y tampoco haga cero, lo que excluye una opción más, . Así hay ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t=-1}$

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

posibilidades para , por lo que junto con las dos soluciones excluidas hay soluciones generales de la ecuación original. Por lo tanto, es un módulo de residuo si y sólo si se divide . Esta es una reformulación de la condición expuesta anteriormente. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

Historia y declaraciones alternativas

El teorema fue formulado de muchas maneras antes de su forma moderna: Euler y Legendre no tenían la notación de congruencia de Gauss, ni Gauss tenía el símbolo de Legendre.

En este artículo, p y q siempre se refieren a números primos impares positivos distintos, y x e y a números enteros no especificados.

Fermat

Fermat demostró ^[5] (o afirmó haber demostrado) ^[6] varios teoremas sobre la expresión de un número primo mediante una forma cuadrática:

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}}$

No enunció la ley de la reciprocidad cuadrática, aunque los casos −1, ±2 y ±3 son deducciones fáciles de estos y otros de sus teoremas.

También afirmó tener una prueba de que si el número primo p termina en 7, (en base 10) y el número primo q termina en 3, y p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

Euler conjeturó, y Lagrange demostró, que ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

Demostrar estas y otras afirmaciones de Fermat fue una de las cosas que llevó a los matemáticos al teorema de reciprocidad.

Euler

Traducido a la notación moderna, Euler afirmó ^[8] que para distintos primos impares p y q :

1. Si q ≡ 1 (mod 4), entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y sólo si existe algún número entero b tal que p ≡ b ² (mod q ).
2. Si q ≡ 3 (mod 4), entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y solo si existe algún número entero b que sea impar y no divisible por q tal que p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Esto es equivalente a la reciprocidad cuadrática.

No lo pudo acreditar, pero sí lo demostró con el segundo suplemento. ^[9]

Legendre y su símbolo

Fermat demostró que si p es un número primo y a es un número entero,

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.}$

Por lo tanto, si p no divide a , utilizando el hecho no obvio (ver, por ejemplo, Ireland y Rosen a continuación) de que los residuos módulo p forman un campo y, por lo tanto, en particular el grupo multiplicativo es cíclico, por lo tanto, puede haber como máximo dos soluciones para una ecuación cuadrática:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.}$

Legendre ^[10] permite que a y A representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b y B primos positivos ≡ 3 (mod 4), y establece una tabla de ocho teoremas que en conjunto son equivalentes a la reciprocidad cuadrática:

Dice que dado que las expresiones de la forma

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

aparecerán con tanta frecuencia que los abreviará como:

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.}$

Esto ahora se conoce como símbolo de Legendre , y hoy en día se utiliza una definición equivalente ^{[11] [12] : para todos los números enteros} a y todos los primos impares p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

La versión de Legendre de la reciprocidad cuadrática

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Señala que estos se pueden combinar:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Varias pruebas, especialmente aquellas basadas en el lema de Gauss , ^[13] calculan explícitamente esta fórmula.

Las leyes suplementarias que utilizan los símbolos de Legendre.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

A partir de estos dos suplementos podemos obtener una tercera ley de reciprocidad para el carácter cuadrático -2 de la siguiente manera:

Para que -2 sea un residuo cuadrático, -1 o 2 son ambos residuos cuadráticos, o ambos no residuos: . ${\displaystyle {\bmod {p}}}$

Entonces, ambos son pares o ambos son impares. La suma de estas dos expresiones es ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {p^{2}+4p-5}{8}}}$que es un número entero. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

El intento de Legendre de demostrar la reciprocidad se basa en un teorema suyo:

Teorema de Legendre. Sean a , b y c números enteros donde cualquier par de los tres son primos relativos. Además, supongamos que al menos uno de ab , bc o ca es negativo (es decir, no todos tienen el mismo signo). Si

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}}$

son solucionables, entonces la siguiente ecuación tiene una solución no trivial en números enteros:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

Ejemplo. El teorema I se maneja dejando que a ≡ 1 y b ≡ 3 (mod 4) sean primos y asumiendo que y, contrariamente al teorema, que Entonces tiene una solución, y tomando congruencias (mod 4) se llega a una contradicción. ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{a}}\right)=1}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.}$ ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0}$

Esta técnica no funciona para el Teorema VIII. Sea b ≡ B ≡ 3 (mod 4), y supongamos

${\displaystyle \left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.}$

Entonces si hay otro primo p ≡ 1 (mod 4) tal que

${\displaystyle \left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,}$

la solubilidad de conduce a una contradicción (mod 4). Pero Legendre no pudo demostrar que tiene que haber tal p primo ; Más tarde pudo demostrar que todo lo que se requiere es: ${\displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$

Lema de Legendre. Si p es un primo que es congruente con 1 módulo 4 entonces existe un primo impar q tal que ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.}$

pero tampoco pudo probarlo. El símbolo de Hilbert (abajo) analiza cómo se pueden hacer que funcionen las técnicas basadas en la existencia de soluciones . ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$

Gauss

Parte del artículo 131 de la primera edición (1801) de las Disquisiciones , enumerando los 8 casos de reciprocidad cuadrática

Gauss prueba primero ^[14] las leyes suplementarias. Establece ^[15] la base de la inducción demostrando el teorema para ±3 y ±5. Observando ^[16] que es más fácil establecer para −3 y +5 que para +3 o −5, establece ^[17] el teorema general en la forma:

Si p es un primo de la forma 4 n  + 1 entonces p , pero si p es de la forma 4 n + 3 entonces − p , es un residuo cuadrático (o no residuo) de todo primo, que, con signo positivo, es un residuo (resp. no residuo) de p . En la frase siguiente, lo bautiza como "teorema fundamental" (Gauss nunca utilizó la palabra "reciprocidad").

Introduciendo la notación a R b (resp. a N b ) para significar que a es un residuo cuadrático (resp. no residuo) (mod b ), y dejando que a , a ′, etc. representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b , b ′, etc. primos positivos ≡ 3 (mod 4), lo divide en los mismos 8 casos que Legendre:

En el siguiente artículo generaliza esto a lo que son básicamente las reglas para el símbolo de Jacobi (abajo). Dejemos que A , A ′, etc. representen cualquier número positivo (primo o compuesto) ≡ 1 (mod 4) y B , B ′, etc. números positivos ≡ 3 (mod 4):

Todos estos casos toman la forma "si un primo es un residuo (mod un compuesto), entonces el compuesto es un residuo o un no residuo (mod el primo), dependiendo de las congruencias (mod 4)". Demuestra que estos se derivan de los casos 1) - 8).

Gauss necesitaba, y pudo demostrarlo ^[18] , un lema similar al que necesitaba Legendre:

Lema de Gauss. Si p es un primo congruente con 1 módulo 8, entonces existe un primo impar q tal que:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

La prueba de reciprocidad cuadrática utiliza la inducción completa .

La versión de Gauss en los símbolos de Legendre.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Estos se pueden combinar:

Versión combinada de Gauss en símbolos de Legendre. Dejar

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

En otras palabras:

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.}$

Entonces:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

Varias demostraciones del teorema, especialmente aquellas basadas en sumas de Gauss ^[19] o la división de números primos en campos de números algebraicos , ^{[20] [21]} derivan esta fórmula.

Otras declaraciones

Las afirmaciones de esta sección equivalen a la reciprocidad cuadrática: si, por ejemplo, se supone la versión de Euler, se puede deducir de ella la versión de Legendre-Gauss, y viceversa.

Formulación de Euler de la reciprocidad cuadrática. ^[22] Si entonces ${\displaystyle p\equiv \pm q{\bmod {4a}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

Esto se puede demostrar utilizando el lema de Gauss .

Reciprocidad cuadrática (Gauss; cuarta prueba). ^[23] Sean a , b , c , ... primos impares positivos desiguales, cuyo producto es n , y sea m el número de ellos que son ≡ 3 (mod 4); comprobar si n / a es un residuo de a , si n / b es un residuo de b , .... El número de no residuos encontrados será par cuando m ≡ 0, 1 (mod 4), y será impar si metro ≡ 2, 3 (mod 4).

La cuarta prueba de Gauss consiste en demostrar este teorema (comparando dos fórmulas para el valor de las sumas de Gauss) y luego restringirlo a dos primos. Luego da un ejemplo: Sean a = 3, b = 5, c = 7 y d = 11. Tres de ellos, 3, 7 y 11 ≡ 3 (mod 4), entonces m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11R3; 3×7×11R5; 3x5x11R7; y 3×5×7 N 11, por lo que hay un número impar de no residuos.

Formulación de Eisenstein de la reciprocidad cuadrática. ^[24] Suponer

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

Formulación de Mordell de la reciprocidad cuadrática. ^[25] Sean a , b y c números enteros. Para cada primo, p , dividiendo abc si la congruencia

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

tiene una solución no trivial, entonces también la tiene:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.}$

Formulación de la función Zeta.

Como se menciona en el artículo sobre funciones zeta de Dedekind , la reciprocidad cuadrática es equivalente a que la función zeta de un campo cuadrático sea el producto de la función zeta de Riemann y una determinada función L de Dirichlet.

símbolo jacobi

El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre; la principal diferencia es que el número inferior tiene que ser positivo e impar, pero no tiene que ser primo. Si es primo, los dos símbolos concuerdan. Obedece las mismas reglas de manipulación que el símbolo de Legendre. En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

y si ambos números son positivos e impares (a esto a veces se le llama "ley de reciprocidad de Jacobi"):

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

Sin embargo, si el símbolo de Jacobi es 1 pero el denominador no es un primo, no se sigue necesariamente que el numerador sea un residuo cuadrático del denominador. Los casos de Gauss 9) - 14) anteriores se pueden expresar en términos de símbolos de Jacobi:

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

y dado que p es primo, el lado izquierdo es un símbolo de Legendre, y sabemos si M es un módulo residual p o no.

Las fórmulas enumeradas en la sección anterior son válidas para los símbolos de Jacobi siempre que los símbolos estén definidos. La fórmula de Euler se puede escribir

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

Ejemplo.

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2 es un residuo módulo de los primos 7, 23 y 31:

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.}$

Pero 2 no es un módulo 5 de residuo cuadrático, por lo que no puede ser un módulo 15. Esto está relacionado con el problema que tenía Legendre: si entonces a es un módulo sin residuo de todo primo en la progresión aritmética m + 4 a , m + 8 a , ..., si hay números primos en esta serie, pero eso no se demostró hasta décadas después de Legendre. ^[26] ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$

La fórmula de Eisenstein requiere condiciones de primalidad relativa (que son verdaderas si los números son primos)

Sean números enteros impares positivos tales que: ${\displaystyle a,b,a',b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

Símbolo de Hilbert

La ley de reciprocidad cuadrática se puede formular en términos del símbolo de Hilbert , donde a y b son dos números racionales distintos de cero y v abarca todos los valores absolutos no triviales de los racionales (el de Arquímedes y los valores absolutos p -ádicos para los primos). pag ). El símbolo de Hilbert es 1 o −1. Se define como 1 si y sólo si la ecuación tiene una solución al completar los racionales en v distinta de . La ley de reciprocidad de Hilbert establece que , para a y b fijos y v variables , es 1 para todos menos un número finito de v y el producto de v total es 1. (Esto se parece formalmente al teorema del residuo del análisis complejo). ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x=y=z=0}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$

La prueba de la reciprocidad de Hilbert se reduce a comprobar unos pocos casos especiales, y los casos no triviales resultan ser equivalentes a la ley principal y a las dos leyes suplementarias de la reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre. No existe ningún tipo de reciprocidad en la ley de reciprocidad de Hilbert; su nombre simplemente indica la fuente histórica del resultado en reciprocidad cuadrática. A diferencia de la reciprocidad cuadrática, que requiere condiciones de signos (es decir, positividad de los primos involucrados) y un tratamiento especial del primo 2, la ley de reciprocidad de Hilbert trata todos los valores absolutos de los racionales en pie de igualdad. Por lo tanto, es una forma más natural de expresar la reciprocidad cuadrática con miras a la generalización: la ley de reciprocidad de Hilbert se extiende con muy pocos cambios a todos los campos globales y esta extensión puede considerarse con razón una generalización de la reciprocidad cuadrática a todos los campos globales.

Conexión con campos ciclotómicos.

Las primeras pruebas de la reciprocidad cuadrática son relativamente poco esclarecedoras. La situación cambió cuando Gauss utilizó sumas de Gauss para demostrar que los campos cuadráticos son subcampos de campos ciclotómicos , e implícitamente dedujo la reciprocidad cuadrática de un teorema de reciprocidad para campos ciclotómicos. Su demostración fue formulada en forma moderna por teóricos de números algebraicos posteriores. Esta prueba sirvió como modelo para la teoría de campos de clases , que puede verse como una amplia generalización de la reciprocidad cuadrática.

Robert Langlands formuló el programa Langlands , que ofrece una amplia generalización conjetural de la teoría de campos de clases. Él escribió: ^[27]

Confieso que, como estudiante que desconoce la historia de la materia y su conexión con la ciclotomía, no encontré atractiva la ley ni sus llamadas pruebas elementales. Supongo que, aunque no me habría expresado (ni podría haberme expresado) de esta manera, lo vi como poco más que una curiosidad matemática, más apropiada para aficionados que para la atención del matemático serio en el que entonces esperaba convertirme. Sólo en el libro de Hermann Weyl sobre la teoría algebraica de números ^[28] lo aprecié como algo más.

Otros anillos

También existen leyes de reciprocidad cuadrática en anillos distintos de los números enteros.

Enteros gaussianos

En su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica ^[29] Gauss estableció la reciprocidad cuadrática para el anillo de números enteros gaussianos , diciendo que es un corolario de la ley bicuadrática , pero no proporcionó una prueba de ninguno de los teoremas. Dirichlet ^[30] demostró que la ley en puede deducirse de la ley para sin utilizar la reciprocidad cuártica. ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para un primo gaussiano impar y un primo relativo entero gaussiano definir el carácter cuadrático por : ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sean primos gaussianos distintos donde a y c son impares y b y d son pares. Entonces ^[31] ${\displaystyle \lambda =a+bi,\mu =c+di}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

Enteros de Eisenstein

Considere la siguiente tercera raíz de la unidad:

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.}$

El anillo de los números enteros de Eisenstein es ^[32] Para un primo de Eisenstein y un número entero de Eisenstein se define el carácter cuadrático mediante la fórmula ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ].}$ ${\displaystyle \pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gcd(\alpha ,\pi )=1,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sean λ = a + bω y μ = c + dω primos distintos de Eisenstein donde a y c no son divisibles por 3 y b y d son divisibles por 3. Eisenstein demostró ^[33]

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

Campos cuadráticos imaginarios

Las leyes anteriores son casos especiales de leyes más generales que se aplican al anillo de números enteros en cualquier campo numérico cuadrático imaginario . Sea k un campo numérico cuadrático imaginario con anillo de números enteros para un ideal primo con norma impar y defina el carácter cuadrático como ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}}$

para un ideal arbitrario factorizado en ideales primos define ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},}$

y para definir ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.}$

Sea ie una base integral para Para con norma impar defina los números enteros (ordinarios) a , b , c , d mediante las ecuaciones, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},}$ ${\displaystyle \left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} \nu ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}}$

y una función

${\displaystyle \chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.}$

Si m = Nμ y n = Nν son ambos impares, demostró Herglotz ^[34]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

También si

${\displaystyle \mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}}$

Entonces ^[35]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

Polinomios sobre un campo finito

Sea F un campo finito con q = p ⁿ elementos, donde p es un número primo impar y n es positivo, y sea F [ x ] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en F . Si y f es irreducible , mónico y tiene grado positivo, defina el carácter cuadrático para F [ x ] de la manera habitual: ${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

Si es un producto de monónicos irreductibles, dejemos ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{n}}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).}$

Dedekind demostró que si son mónicos y tienen grados positivos, ^[36] ${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.}$

poderes superiores

El intento de generalizar la reciprocidad cuadrática para potencias superiores a la segunda fue uno de los principales objetivos que llevaron a los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Carl Friedrich Gauss , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Carl Gustav Jakob Jacobi , Gotthold Eisenstein , Richard Dedekind , Ernst Kummer y David. Hilbert al estudio de los campos numéricos algebraicos generales y sus anillos de números enteros; ^[37] específicamente Kummer inventó ideales para enunciar y probar leyes de reciprocidad superiores.

El noveno de la lista de 23 problemas sin resolver que David Hilbert propuso al Congreso de Matemáticos en 1900 pedía la "Prueba de la ley de reciprocidad más general [para] un campo numérico arbitrario". ^[38] Basándose en el trabajo de Philipp Furtwängler , Teiji Takagi , Helmut Hasse y otros, Emil Artin descubrió la reciprocidad de Artin en 1923, un teorema general para el cual todas las leyes de reciprocidad conocidas son casos especiales, y lo demostró en 1927. ^[39]

Ver también

• Función zeta de Dedekind
• Ley de reciprocidad racional
• El lema de Zolotarev

Notas

1. Gauss, DA § 4, artículos 107-150
2. Por ejemplo, en la entrada de su diario matemático del 8 de abril de 1796 (la fecha en la que demostró por primera vez la reciprocidad cuadrática). Ver página facsímil de El desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX de Felix Klein
3. Véase la cronología y bibliografía de pruebas de F. Lemmermeyer en las referencias externas.
4. Veklych, Bogdan (2019). "Una prueba minimalista de la ley de reciprocidad cuadrática". El Mensual Matemático Estadounidense . 126 (10): 928. arXiv : 2106.08121 . doi :10.1080/00029890.2019.1655331. S2CID  214219919.
5. Lemmermeyer, págs. 2-3
6. Gauss, DA, arte. 182
7. Lemmermeyer, pag. 3
8. Lemmermeyer, pag. 5, Irlanda y Rosen, págs. 54, 61
9. Irlanda y Rosen, págs. 69–70. Su demostración se basa en lo que ahora se llaman sumas de Gauss.
10. Esta sección se basa en Lemmermeyer, págs. 6–8
11. La equivalencia es el criterio de Euler
12. El análogo de la definición original de Legendre se utiliza para símbolos de residuos de mayor poder.
13. Por ejemplo, la prueba de Kronecker (Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34) consiste en utilizar el lema de Gauss para establecer que

    ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}$

    y luego cambiar p y q .
14. Gauss, DA, artículos 108-116
15. Gauss, DA, artículos 117-123
16. Gauss, DA, artículos 130
17. Gauss, DA, artículo 131
18. Gauss, DA, artes. 125-129
19. Porque la suma básica de Gauss es igual ${\displaystyle {\sqrt {q^{*}}}.}$
20. Porque el campo cuadrático es un subcampo del campo ciclotómico ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {q^{*}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{q}})}$
21. Ver Conexión con campos ciclotómicos a continuación.
22. Irlanda y Rosen, págs. 60–61.
23. Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art", reimpreso en Untersuchumgen uber hohere Arithmetik , páginas 463–495
24. Lemmermeyer, Th. 2.28, págs. 63–65
25. Lemmermeyer, ej. 1.9, pág. 28
26. Por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837
27. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2012 . Consultado el 27 de junio de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
28. Weyl, Hermann (1998). Teoría algebraica de los números . ISBN 0691059179.
29. Gauss, BQ § 60
30. La prueba de Dirichlet se encuentra en Lemmermeyer, Prop. 5.1 p.154, e Ireland & Rosen, ex. 26 p. 64
31. Lemmermeyer, Proposición 5.1, pág. 154
32. Consulte los artículos sobre enteros de Eisenstein y reciprocidad cúbica para obtener definiciones y notaciones.
33. Lemmermeyer, Thm. 7.10, pág. 217
34. Lemmermeyer, Thm 8.15, p.256 y siguientes
35. Lemmermeyer Thm. 8.18, pág. 260
36. Bach y Shallit, Thm. 6.7.1
37. Lemmermeyer, pag. 15 y Edwards, págs. 79-80, ambos presentan argumentos sólidos de que el estudio de la mayor reciprocidad fue mucho más importante como motivación que el último teorema de Fermat.
38. Lemmermeyer, pag. viii
39. Lemmermeyer, pag. ix ff

Referencias

Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas (del latín) al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos los artículos de Gauss sobre teoría de números: todas las pruebas de la reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas. Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisiciones Arithemeticae . Traducido por Clarke, Arthur A. (Segunda edición corregida). Nueva York: Springer . ISBN 0-387-96254-9.
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) . Traducido por Maser, Hermann (Segunda ed.). Nueva York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1 a 23 y la segunda, los §§ 24 a 76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos tienen la forma "Gauss, BQ, § n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estos se encuentran en Werke de Gauss , volumen II, págs. 65–92 y 93–148. Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 de Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Todos los libros de texto sobre teoría elemental de números (y bastantes sobre teoría algebraica de números ) tienen una prueba de reciprocidad cuadrática. Dos son especialmente destacables:

Leyes de reciprocidad de Franz Lemmermeyer : de Euler a Eisenstein tiene muchas pruebas (algunas en ejercicios) de leyes de reciprocidad tanto cuadráticas como de potencia superior y una discusión de su historia. Su inmensa bibliografía incluye citas bibliográficas de 196 pruebas publicadas diferentes de la ley de reciprocidad cuadrática .

Una introducción clásica a la teoría moderna de números de Kenneth Ireland y Michael Rosen también tiene muchas pruebas de reciprocidad cuadrática (y muchos ejercicios), y también cubre los casos cúbicos y bicuadráticos. El ejercicio 13.26 (p. 202) lo dice todo

Cuente el número de pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática dadas hasta ahora en este libro e idee otra.

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1966), Teoría algorítmica de números (Vol I: Algoritmos eficientes) , Cambridge: The MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
• Edwards, Harold (1977), El último teorema de Fermat , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-90230-9
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, señor  1761696
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Introducción clásica a la teoría de números moderna (segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

enlaces externos

• "Ley de reciprocidad cuadrática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema de reciprocidad cuadrática de MathWorld
• Una obra que compara dos pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática.
• Una prueba de este teorema en PlanetMath
• Una prueba diferente en MathPages
• Cronología y bibliografía de pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática de F. Lemmermeyer (332 pruebas)