Pila algebraica

Generalización de espacios o esquemas algebraicos

En matemáticas, una pila algebraica es una vasta generalización de espacios algebraicos , o esquemas , que son fundamentales para estudiar la teoría de módulos . Muchos espacios de módulos se construyen utilizando técnicas específicas de las pilas algebraicas, como el teorema de representabilidad de Artin , que se utiliza para construir el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas y la pila de módulos de curvas elípticas . Originalmente, fueron introducidos por Alexander Grothendieck ^[1] para realizar un seguimiento de los automorfismos en los espacios de módulos, una técnica que permite tratar estos espacios de módulos como si sus esquemas subyacentes o espacios algebraicos fueran suaves . Después de que Grothendieck desarrollara la teoría general de la descendencia , ^[2] y Giraud la teoría general de pilas, ^[3] la noción de pilas algebraicas fue definida por Michael Artin . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$

Definición

Motivación

Uno de los ejemplos motivadores de una pila algebraica es considerar un esquema de grupoide sobre un esquema fijo . Por ejemplo, si (donde es el esquema de grupo de raíces de la unidad), , es el mapa de proyección, es la acción de grupo ${\displaystyle (R,U,s,t,m)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})}$

y es el mapa de multiplicación ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}$

en . Entonces, dado un -esquema , el esquema grupoide forma un grupoide (donde están sus funtores asociados). Además, esta construcción es funcional en formando un 2-funtor contravariante ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi :X\to S}$ ${\displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}$ ${\displaystyle R,U}$ ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$

${\displaystyle (R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}}$

donde es la 2-categoría de categorías pequeñas . Otra forma de ver esto es como una categoría fibrosa a través de la construcción de Grothendieck . Obtener las condiciones técnicas correctas, como la topología de Grothendieck en , da la definición de una pila algebraica. Por ejemplo, en el grupoide asociado de -puntos para un cuerpo , sobre el objeto de origen existe el grupoide de automorfismos . Sin embargo, para obtener una pila algebraica de , y no solo una pila, hay hipótesis técnicas adicionales requeridas para . ^[5] ${\displaystyle {\text{Cat}}}$ ${\displaystyle [U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)}$ ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)}$ ${\displaystyle \mu _{n}(k)}$ ${\displaystyle [U/R]}$ ${\displaystyle [U/R]}$

Pilas algebraicas

Resulta que el uso de la topología fppf ^[6] (fielmente plana y de presentación localmente finita) en , denotada , forma la base para definir pilas algebraicas. Entonces, una pila algebraica ^[7] es una categoría fibrada ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)}$ ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}$

de tal manera que

1. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$es una categoría fibrilada en grupoides , lo que significa que la sobrecategoría para algunos es un grupoide ${\displaystyle \pi :X\to S}$
2. El mapa diagonal de categorías fibradas es representable como espacios algebraicos ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}}$
3. Existe un esquema y un 1-morfismo asociado de categorías fibradas que es sobreyectivo y suave llamado atlas . ${\displaystyle fppf}$ ${\displaystyle U\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

Explicación de las condiciones técnicas

Utilizando la topología fppf

En primer lugar, se utiliza la topología fppf porque se comporta bien con respecto a la descendencia . Por ejemplo, si hay esquemas y se puede refinar a una cubierta fppf de , si es plana, de tipo localmente finito o de presentación localmente finita, entonces tiene esta propiedad. ^[8] Este tipo de idea se puede ampliar aún más considerando propiedades locales tanto en el objetivo como en la fuente de un morfismo . Para una cubierta decimos que una propiedad es local en la fuente si ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{X_{i}\to X\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$tiene si y sólo si cada uno tiene . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Existe una noción análoga en el objetivo llamada local en el objetivo . Esto significa que, dada una cobertura ${\displaystyle \{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}}$

${\displaystyle f:X\to Y}$tiene si y sólo si cada uno tiene . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Para la topología fppf, tener una inmersión es local en el objetivo. ^[9] Además de las propiedades anteriores locales en la fuente para la topología fppf, ser universalmente abierto también es local en la fuente. ^[10] Además, ser localmente noetheriano y jacobsoniano es local en la fuente y el objetivo para la topología fppf. ^[11] Esto no se cumple en la topología fpqc, lo que la hace no tan "agradable" en términos de propiedades técnicas. Aunque esto es cierto, el uso de pilas algebraicas sobre la topología fpqc todavía tiene su uso, como en la teoría de homotopía cromática . Esto se debe a que la pila de módulos de las leyes de grupo formales es una pila fpqc-algebraica ^{[12] pág. 40} . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{fg}}$

Diagonal representable

Por definición, un 1-morfismo de categorías fibradas en grupoides es representable por espacios algebraicos ^[13] si para cualquier morfismo fppf de esquemas y cualquier 1-morfismo , la categoría asociada fibrada en grupoides ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle U\to S}$ ${\displaystyle y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$

es representable como un espacio algebraico , ^{[14] [15]} lo que significa que existe un espacio algebraico

${\displaystyle F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

de modo que la categoría fibrada asociada ^[16] es equivalente a . Hay varias condiciones equivalentes para la representabilidad de la diagonal ^[17] que ayudan a dar una intuición para esta condición técnica, pero una de las principales motivaciones es la siguiente: para un esquema y objetos, el haz es representable como un espacio algebraico. En particular, el grupo estabilizador para cualquier punto en la pila es representable como un espacio algebraico. Otra equivalencia importante de tener una diagonal representable es la condición técnica de que la intersección de dos espacios algebraicos cualesquiera en una pila algebraica es un espacio algebraico. Reformulado usando productos de fibra ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}}$ ${\displaystyle (Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})}$ ${\displaystyle \operatorname {Isom} (x,y)}$ ${\displaystyle x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}}$

La representabilidad de la diagonal es equivalente a ser representable para un espacio algebraico . Esto se debe a que dados los morfismos de los espacios algebraicos, se extienden a los mapas de la función diagonal. Existe una afirmación análoga para los espacios algebraicos que da representabilidad de un haz en como un espacio algebraico. ^[18] ${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle (F/S)_{fppf}}$

Obsérvese que una condición análoga de representabilidad de la diagonal se cumple para algunas formulaciones de pilas superiores ^[19] donde el producto de fibra es una -pila para una -pila . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Atlas sobreyectivo y liso

Lema 2-Yoneda

La existencia de un esquema y un 1-morfismo de categorías fibradas que sea sobreyectivo y suave depende de la definición de morfismos suaves y sobreyectivos de categorías fibradas. Aquí está la pila algebraica del funtor representable actualizado a una categoría fibrada en grupoides donde las categorías solo tienen morfismos triviales. Esto significa que el conjunto ${\displaystyle fppf}$ ${\displaystyle U\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle h_{U}}$ ${\displaystyle h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets}$

${\displaystyle h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)}$

se considera como una categoría, denotada , con objetos en forma de morfismos ${\displaystyle h_{\mathcal {U}}(T)}$ ${\displaystyle h_{U}(T)}$ ${\displaystyle fppf}$

${\displaystyle f:T\to U}$

y los morfismos son el morfismo identidad. Por lo tanto

${\displaystyle h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids}$

es un 2-funtor de grupoides. Demostrar que este 2-funtor es un haz es el contenido del lema 2-Yoneda. Usando la construcción de Grothendieck, hay una categoría asociada fibrada en grupoides denotada . ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$

Morfismos representables de categorías fibriladas en grupoides

Para decir que este morfismo es suave o sobreyectivo, tenemos que introducir morfismos representables. ^[20] Se dice que un morfismo de categorías fibradas en grupoides es representable si se da un objeto en y un objeto el producto de 2 fibras ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$ ${\displaystyle t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}}$

es representable mediante un esquema. Entonces, podemos decir que el morfismo de categorías fibradas en grupoides es suave y sobreyectivo si el morfismo asociado ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}}$

La estructura de los esquemas es suave y sobreyectiva.

Pilas de Deligne-Mumford

Las pilas algebraicas, también conocidas como pilas de Artin , están por definición equipadas con un atlas sobreyectivo suave , donde es la pila asociada a algún esquema . Si el atlas es además étale, entonces se dice que es una pila de Deligne-Mumford . La subclase de pilas de Deligne-Mumford es útil porque proporciona la configuración correcta para muchas pilas naturales consideradas, como la pila de módulos de curvas algebraicas . Además, son lo suficientemente estrictas como para que los objetos representados por puntos en pilas de Deligne-Mumford no tengan automorfismos infinitesimales . Esto es muy importante porque los automorfismos infinitesimales hacen que estudiar la teoría de deformación de las pilas de Artin sea muy difícil. Por ejemplo, la teoría de deformación de la pila de Artin , la pila de módulos de fibrados vectoriales de rango, tiene automorfismos infinitesimales controlados parcialmente por el álgebra de Lie . Esto conduce a una secuencia infinita de deformaciones y obstrucciones en general, que es una de las motivaciones para estudiar los módulos de fibrados estables. Sólo en el caso especial de la teoría de la deformación de los fibrados lineales la teoría de la deformación es manejable, ya que el álgebra de Lie asociada es abeliana . ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle BGL_{n}=[*/GL_{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle [*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]}$

Nótese que muchas pilas no pueden representarse naturalmente como pilas Deligne-Mumford porque solo permite cubiertas finitas, o pilas algebraicas con cubiertas finitas. Nótese que debido a que cada cubierta de Etale es plana y localmente de presentación finita, las pilas algebraicas definidas con la topología fppf subsumen esta teoría; pero, aún es útil ya que muchas pilas que se encuentran en la naturaleza son de esta forma, como los módulos de curvas . Además, el análogo geométrico diferencial de tales pilas se llama orbifolds . La condición de Etale implica el 2-functor. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}}$

El envío de un esquema a su grupoide de -torsores se puede representar como una pila sobre la topología Etale, pero la pila Picard de -torsores (equivalente a la categoría de haces de líneas) no se puede representar. Las pilas de esta forma se pueden representar como pilas sobre la topología fppf. Otra razón para considerar la topología fppf frente a la topología etale es la característica sobre la secuencia de Kummer. ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle 0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0}$

es exacta sólo como una secuencia de haces fppf, pero no como una secuencia de haces etale.

Definición de pilas algebraicas sobre otras topologías

El uso de otras topologías de Grothendieck proporciona teorías alternativas de pilas algebraicas que no son lo suficientemente generales o que no se comportan bien con respecto al intercambio de propiedades desde la base de una cubierta hasta el espacio total de una cubierta. Es útil recordar que existe la siguiente jerarquía de generalización ${\displaystyle (F/S)}$

${\displaystyle {\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}}$

de grandes topologías en . ${\displaystyle (F/S)}$

Estructura de la gavilla

El haz de estructura de una pila algebraica es un objeto retirado de un haz de estructura universal en el sitio . ^[21] Este haz de estructura universal ^[22] se define como ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$

y la estructura asociada se agrupa en una categoría fibrilada en grupoides

${\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}}$

se define como

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}}$

donde proviene del mapa de topologías de Grothendieck. En particular, esto significa que se encuentra sobre , por lo que , entonces . Como comprobación de cordura, vale la pena comparar esto con una categoría fibrilada en grupoides que proviene de un esquema para varias topologías. ^[23] Por ejemplo, si ${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p(x)=U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})}$

es una categoría fibrilada en grupoides sobre , la estructura haz para un subesquema abierto da ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$ ${\displaystyle U\to X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Por lo tanto, esta definición recupera la estructura clásica gavilla en un esquema. Además, para una pila de cocientes , la estructura gavilla this solo da las secciones invariantes ${\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}}$

para en . ^{[24] [25]} ${\displaystyle u:U\to X}$ ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}}$

Ejemplos

Clasificación de pilas

Muchas pilas de clasificación para grupos algebraicos son pilas algebraicas. De hecho, para un espacio de grupo algebraico sobre un esquema que es plano de presentación finita, la pila es algebraica ^{[4] teorema 6.1} . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle BG}$

Véase también

• Gerbe
• Grupo Chow de una pila
• Cohomología de una pila
• Pila de cocientes
• Gavilla en una pila algebraica
• Pila tórica
• El criterio de Artin
• Persiguiendo pilas
• Geometría algebraica derivada

Referencias

1. A'Campo, Norbert; Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanase (7 de marzo de 2016). "Sobre la construcción del espacio de Teichmüller por parte de Grothendieck". arXiv : 1603.02229 [math.GT].
2. Grothendieck, Alejandro; Raynaud, Michele (4 de enero de 2004). "Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Expose VI: Catégories fibrées et descente". arXiv : math.AG/0206203 .
3. Giraud, Jean (1971). "II. Los campeones". Cohomologie non abelienne . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 179, págs. 64-105. doi :10.1007/978-3-662-62103-5. ISBN 978-3-540-05307-1.
4. Artin, M. (1974). "Deformaciones versales y pilas algebraicas". Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189. Bibcode :1974InMat..27..165A. doi :10.1007/bf01390174. ISSN  0020-9910. S2CID  122887093.
5. "Sección 92.16 (04T3): De una pila algebraica a una presentación: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. "Sección 34.7 (021L): La topología fppf—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
7. "Sección 92.12 (026N): Pilas algebraicas: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
8. "Lema 35.11.8 (06NB)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
9. "Sección 35.21 (02YL): Propiedades de los morfismos locales en la topología fppf en el objetivo: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
10. "Sección 35.25 (036M): Propiedades de los morfismos locales en la topología fppf en la fuente—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
11. "Sección 35.13 (034B): Propiedades de esquemas locales en la topología fppf—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
12. Goerss, Paul. "Haces cuasi-coherentes en la pila de módulos de grupos formales" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 29 de agosto de 2020.
13. "Sección 92.9 (04SX): Morfismos representables mediante espacios algebraicos: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
14. "Sección 92.7 (04SU): Categorías divididas agrupadas en grupos: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
15. "Sección 92.8 (02ZV): Categorías fibriladas en grupoides representables por espacios algebraicos—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
16. es la incrustación que envía un conjunto a la categoría de objetos y solo morfismos de identidad. Luego, se puede aplicar la construcción de Grothendieck para dar una categoría fibrada en grupoides ${\displaystyle Sets\to Cat}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
17. "Lema 92.10.11 (045G)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
18. "Sección 78.5 (046I): Arranque de la diagonal: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
19. Pilas n algebraicas (geométricas) ". arXiv : alg-geom/9609014 .
20. "Sección 92.6 (04ST): Morfismos representables de categorías fibriladas en grupoides: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 3 de octubre de 2020 .
21. "Sección 94.3 (06TI): Presheaves—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
22. "Sección 94.6 (06TU): La estructura de haces: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
23. "Sección 94.8 (076N): Categorías representables: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
24. "Lema 94.13.2 (076S)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
25. "Sección 76.12 (0440): Haces cuasi-coherentes en grupoides: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de octubre de 2020 .

Enlaces externos

Los axiomas de Artin

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Mira "Axiomas" y "Pilas algebraicas"
• Algebrización de Artin y pilas de cocientes - Jarod Alper

Papeles

• Alper, Jarod (2009). "Una guía sobre la literatura sobre pilas algebraicas" (PDF) . S2CID  51803452. Archivado desde el original (PDF) el 13 de febrero de 2020.
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "La pila de Hilbert". Avances en Matemáticas . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID  55936583.
• Behrend, Kai A. (2003). "Categorías ℓ-ádicas derivadas para pilas algebraicas" (PDF) . Memorias de la American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi :10.1090/memo/0774. ISBN. 978-1-4704-0372-0.

Aplicaciones

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introducción a chtoucas para grupos reductivos y a la parametrización global de Langlands". arXiv : 1404.6416 [math.AG].
• Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schemas de Modules de Courbes Elliptiques". Funciones modulares de una variable II . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 349, págs. 143–316. doi :10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, II: Las pilas M g , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}". Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Sobre la construcción de una pila de módulos de haces de Higgs proyectivos sobre superficies". arXiv : 1911.00250 [math.AG].

Otro

• Ejemplos de pilas
• Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia
• Notas sobre pilas algebraicas