Función zeta local

En teoría de números , la función zeta local Z ( V ,  s ) (a veces llamada función zeta congruente o función zeta de Hasse-Weil ) se define como

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

donde V es una variedad algebraica proyectiva de n dimensiones no singular sobre el campo F _q con q elementos y N _k es el número de puntos de V definidos sobre la extensión de campo finito F _{q ^k} de F _q . ^[1]

Haciendo la transformación de variable t  =  q ^{− s} , se obtiene

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

como la serie de potencias formales en la variable . ${\displaystyle u}$

De manera equivalente, la función zeta local a veces se define de la siguiente manera:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

En otras palabras, la función zeta local Z ( V ,  t ) con coeficientes en el campo finito F _q se define como una función cuya derivada logarítmica genera el número N _k de soluciones de la ecuación que define V en la extensión de grado k F _{q ^k} .

Formulación

Dado un campo finito F , existe, hasta el isomorfismo , sólo un campo F _k con

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$,

para k = 1, 2, ... . Cuando F es el campo único con q elementos, F _k es el campo único con elementos. Dado un conjunto de ecuaciones polinomiales, o una variedad algebraica V , definida sobre F , podemos contar el número ${\displaystyle q^{k}}$

${\displaystyle N_{k}\,}$

de soluciones en F _k y crear la función generadora

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

La definición correcta de Z ( t ) es establecer log Z igual a G , por lo que

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

y Z (0) = 1, ya que G (0) = 0, y Z ( t ) es a priori una serie de potencias formal .

La derivada logarítmica

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

es igual a la función generadora

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Ejemplos

Por ejemplo, supongamos que todos los N _k son 1; esto sucede por ejemplo si comenzamos con una ecuación como X = 0, de modo que geométricamente estamos tomando V como un punto. Entonces

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

es la expansión de un logaritmo (para | t | < 1). En este caso tenemos

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

Para tomar algo más interesante, sea V la recta proyectiva sobre F . Si F tiene q elementos, entonces tiene q + 1 puntos, incluido el punto en el infinito . Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

y

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

para | t | lo suficientemente pequeño y por lo tanto

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

El primer estudio de estas funciones fue en la disertación de 1923 de Emil Artin . Obtuvo resultados para el caso de una curva hiperelíptica y conjeturó los puntos principales adicionales de la teoría aplicada a las curvas. La teoría fue desarrollada posteriormente por FK Schmidt y Helmut Hasse . ^[2] Los primeros casos no triviales conocidos de funciones zeta locales estaban implícitos en Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss , artículo 358. Allí, ciertos ejemplos particulares de curvas elípticas sobre campos finitos que tienen multiplicación compleja tienen sus puntos contados mediante ciclotomía . ^[3]

Para conocer la definición y algunos ejemplos, consulte también. ^[4]

Motivaciones

La relación entre las definiciones de G y Z se puede explicar de varias maneras. (Véase, por ejemplo, la fórmula del producto infinito para Z a continuación). En la práctica, convierte a Z en una función racional de t , algo que es interesante incluso en el caso de V, una curva elíptica sobre un campo finito.

Las funciones Z zeta locales se multiplican para obtener funciones zeta globales, ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

Estos generalmente involucran diferentes campos finitos (por ejemplo, toda la familia de campos Z / p Z cuando p recorre todos los números primos ).

En estos campos, la variable t se sustituye por p ^−s , donde s es la variable compleja tradicionalmente utilizada en las series de Dirichlet . (Para obtener más detalles, consulte Función zeta de Hasse-Weil ).

Por lo tanto , los productos globales de Z en los dos casos utilizados como ejemplos en la sección anterior salen como y después de let . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$ ${\displaystyle q=p}$

Hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos

Para curvas proyectivas C sobre F que no son singulares , se puede demostrar que

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

con P ( t ) un polinomio, de grado 2 g , donde g es el género de C. Reescritura

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

la hipótesis de Riemann para curvas sobre estados de campos finitos

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Por ejemplo, para el caso de la curva elíptica hay dos raíces y es fácil mostrar que los valores absolutos de las raíces son q ^1/2 . El teorema de Hasse es que tienen el mismo valor absoluto; y esto tiene consecuencias inmediatas para el número de puntos.

André Weil demostró esto para el caso general, alrededor de 1940 ( nota de Comptes Rendus , abril de 1940): dedicó mucho tiempo en los años posteriores a escribir la geometría algebraica involucrada. Esto le llevó a las conjeturas generales de Weil . Alexander Grothendieck desarrolló la teoría de esquemas con el fin de resolverlos. Una generación más tarde, Pierre Deligne completó la prueba. (Ver étale cohomology para conocer las fórmulas básicas de la teoría general).

Fórmulas generales para la función zeta.

Es una consecuencia de la fórmula de trazas de Lefschetz para el morfismo de Frobenius que

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Aquí hay un esquema separado de tipo finito sobre el campo finito F con elementos, y Frob _q es el Frobenius geométrico que actúa sobre la cohomología -adic étale con soportes compactos de , la elevación de al cierre algebraico del campo F . Esto muestra que la función zeta es una función racional de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

Una fórmula de producto infinita para es ${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Aquí, el producto abarca todos los puntos cerrados x de X y grado ( x ) es el grado de x . La función zeta local Z(X, t) se considera una función de la variable compleja s mediante el cambio de variables q ^−s .

En el caso donde X es la variedad V discutida anteriormente, los puntos cerrados son las clases de equivalencia x=[P] de los puntos P en , donde dos puntos son equivalentes si son conjugados sobre F . El grado de x es el grado de la extensión de campo de F generada por las coordenadas de P . Se ve fácilmente que la derivada logarítmica del producto infinito Z(X, t) es la función generadora analizada anteriormente, a saber ${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Ver también

• Lista de funciones zeta
• conjeturas de weil
• Curva elíptica

Referencias

1. Sección V.2 de Silverman, Joseph H. (1992), La aritmética de curvas elípticas , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 106, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, señor  1329092
2. Daniel Bump , Geometría algebraica (1998), pág. 195.
3. Barry Mazur , Valores propios de Frobenius , p. 244 en Geometría algebraica, Arcata 1974: Actas de la American Mathematical Society (1974).
4. Robin Hartshorne , Geometría algebraica , p. 449 Springer 1977 APÉNDICE C "Las conjeturas de Weil"