Prima gemela

Un primo gemelo es un número primo que es 2 menos o 2 más que otro número primo, por ejemplo, cualquiera de los miembros del par de primos gemelos $(17, 19)$ o $(41, 43)$ . En otras palabras, un primo gemelo es un primo que tiene un hueco primo de dos. A veces se utiliza el término primo gemelo para un par de primos gemelos; un nombre alternativo para esto es primo gemelo o par de primos .

Los primos gemelos se vuelven cada vez más raros a medida que se examinan rangos más grandes, de acuerdo con la tendencia general de que las brechas entre primos adyacentes se vuelven más grandes a medida que los números mismos se hacen más grandes. Sin embargo, se desconoce si hay infinitos primos gemelos (la llamada conjetura de los primos gemelos ) o si hay un par más grande. El trabajo innovador ^[1] de Yitang Zhang en 2013, así como el trabajo de James Maynard , Terence Tao y otros, ha logrado un progreso sustancial hacia la prueba de que hay infinitos primos gemelos, pero en la actualidad esto sigue sin resolverse. ^[2]

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen infinitos números primos gemelos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Propiedades

Generalmente, el par $(2, 3)$ no se considera un par de primos gemelos. ^[3] Dado que 2 es el único primo par , este par es el único par de números primos que difieren en uno; por lo tanto, los primos gemelos están lo más espaciados posible para cualesquiera otros dos primos.

Los primeros pares de primos gemelos son

(3, 5), (5, 7), (11, 13),

(17, 19), (29, 31), (41, 43),

(59, 61) , (71, 73), (101 ,

103),

(

107, 109), (137, 139), ...

Cinco es el único primo que pertenece a dos pares, ya que cada par de primos gemelos mayor que $(3, 5)$ tiene la forma de algún número natural $n$ ; es decir, el número entre los dos primos es múltiplo de 6. ^[4] Como resultado, la suma de cualquier par de primos gemelos (excepto 3 y 5) es divisible por 12. $(6n-1,6n+1)$

Teorema de Brun

En 1915, Viggo Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos era convergente . ^[5] Este famoso resultado, llamado teorema de Brun , fue el primer uso de la criba de Brun y ayudó a iniciar el desarrollo de la teoría de cribas moderna . La versión moderna del argumento de Brun se puede utilizar para demostrar que el número de primos gemelos menor que $N$ no excede

{\frac {CN}{(\log N)^{2}}}

para alguna constante absoluta $C$ > 0. ^[6] De hecho, está acotado arriba por donde es la constante de primos gemelos (ligeramente menor que 2/3), dada a continuación. ^[7] ${\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],$ $Estilo de visualización C_{2}$

Conjetura de los primos gemelos

La cuestión de si existen infinitos primos gemelos ha sido una de las grandes preguntas abiertas en la teoría de números durante muchos años. Este es el contenido de la conjetura de los primos gemelos , que afirma que hay infinitos primos $p$ tales que $p$ $+ 2$ también es primo. En 1849, de Polignac formuló la conjetura más general de que para cada número natural $k$ , hay infinitos primos $p$ tales que $p$ $+ 2$ $k$ también es primo. ^[8] El caso $k$ = 1 de la conjetura de de Polignac es la conjetura de los primos gemelos.

Una forma más fuerte de la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood (ver más abajo), postula una ley de distribución para primos gemelos similar al teorema de los números primos .

El 17 de abril de 2013, Yitang Zhang anunció una prueba de que para algún entero $N$ que es menor que 70 millones, hay infinitos pares de primos que difieren en $N.$ ^[9] El artículo de Zhang fue aceptado a principios de mayo de 2013. ^[10] Posteriormente , Terence Tao propuso un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polígrafo para optimizar el límite de Zhang. ^[11]

A partir del 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang, el límite se ha reducido a 246. ^[12] Estos límites mejorados se descubrieron utilizando un enfoque diferente que era más simple que el de Zhang y fue descubierto independientemente por James Maynard y Terence Tao . Este segundo enfoque también proporcionó límites para el $f$ $($ $m$ $)$ más pequeño necesario para garantizar que infinitos intervalos de ancho $f$ $($ $m$ $)$ contengan al menos $m$ primos. Además (ver también la siguiente sección) asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki del Proyecto Polígrafo establece que el límite es 12 y 6, respectivamente. ^[12]

Un fortalecimiento de la conjetura de Goldbach , si se demostrara, también probaría que hay un número infinito de primos gemelos, como también la existencia de ceros de Siegel .

Otros teoremas más débiles que la conjetura de los primos gemelos

En 1940, Paul Erdős demostró que existe una constante $c < 1$ y una cantidad infinita de primos $p$ tales que $p' - p < c ln p$ donde $p'$ denota el primo siguiente a $p$ . Esto significa que podemos encontrar una cantidad infinita de intervalos que contengan dos primos $(p, p' )$ siempre que dejemos que estos intervalos crezcan lentamente en tamaño a medida que nos movemos hacia primos cada vez más grandes. Aquí, "crecer lentamente" significa que la longitud de estos intervalos puede crecer logarítmicamente . Este resultado fue mejorado sucesivamente; en 1986 Helmut Maier demostró que se puede utilizar una constante $c < 0,25 . En 2004,$ Daniel Goldston y Cem Yıldırım demostraron que la constante podía mejorarse aún más hasta $c = 0,085786...$ . En 2005, Goldston , Pintz y Yıldırım establecieron que $c$ puede elegirse para que sea arbitrariamente pequeño, ^[13]^[14] es decir

\liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.

Por otra parte, este resultado no descarta que no pueda haber infinitos intervalos que contengan dos primos si sólo permitimos que los intervalos crezcan en tamaño como, por ejemplo, $c ln ln p$ .

Asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam o una versión ligeramente más débil, pudieron demostrar que hay una cantidad infinita de $n$ tales que al menos dos de $n$ , $n + 2$ , $n + 6$ , $n + 8$ , $n + 12$ , $n + 18$ o $n + 20$ son primos. Bajo una hipótesis más fuerte, demostraron que para una cantidad infinita de $n$ , al menos dos de $n$ , $n + 2$ , $n + 4$ y $n + 6$ son primos.

El resultado de Yitang Zhang ,

\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {con} ~N=7\times 10^{7},

es una mejora importante con respecto al resultado de Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. La optimización del límite de Zhang del Polymath Project y el trabajo de Maynard han reducido el límite: el límite inferior es como máximo 246. ^[15]^[16]

Conjeturas

Primera conjetura de Hardy-Littlewood

La primera conjetura de Hardy-Littlewood (nombrada en honor a GH Hardy y John Littlewood ) es una generalización de la conjetura de los primos gemelos. Se ocupa de la distribución de las constelaciones de primos , incluidos los primos gemelos, en analogía con el teorema de los números primos . Sea ⁠ ⁠ $estilo de visualización {\pi _{2}(x)}$ el número de primos $p \leq x$ tales que $p + 2$ también es primo. Definamos la constante de primos gemelos $C 2$ como ^[17] (Aquí el producto se extiende sobre todos los números primos $p$ $\geq 3$ ). Entonces un caso especial de la primera conjetura de Hardy-Littlewood es aquel en el sentido de que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando $x$ se acerca al infinito. ^[6] (El segundo ~ no es parte de la conjetura y se demuestra por integración por partes ). $C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {primo,} \encima de p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .$ $\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}$

La conjetura se puede justificar (pero no demostrar) suponiendo que ⁠ ⁠ ${\frac {1}{\ln t}}$ describe la función de densidad de la distribución de números primos. Esta suposición, que es sugerida por el teorema de los números primos, implica la conjetura de los primos gemelos, como se muestra en la fórmula para ⁠ ⁠ $estilo de visualización {\pi _{2}(x)}$ anterior.

La primera conjetura de Hardy-Littlewood, totalmente general, sobre k -tuplas primos (no dada aquí) implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es falsa.

Esta conjetura ha sido ampliada por la conjetura de Dickson .

La conjetura de Polignac

La conjetura de Polignac de 1849 establece que para cada entero par positivo $k$ , hay infinitos pares de primos consecutivos $p$ y $p'$ tales que $p' - p = k$ (es decir, hay infinitos huecos primos de tamaño $k$ ). El caso $k = 2$ es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de $k$ , pero el resultado de Zhang demuestra que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de $k$ . De hecho, si tal $k$ no existiera, entonces para cualquier número natural par positivo $N$ hay como máximo un número finito $de n$ tales que para todo $m$ $<$ $N$ y, por lo tanto, para $n$ lo suficientemente grande tenemos lo que contradiría el resultado de Zhang. ^[8] $p_{n+1}-p_{n}=m$ $p_{n+1}-p_{n}>N,$

Primos gemelos grandes

A partir de 2007, dos proyectos de computación distribuida , Twin Prime Search y PrimeGrid , han producido varios primos gemelos de mayor tamaño que han alcanzado récords. En agosto de 2022 ^[actualizar], el par de primos gemelos más grande conocido actualmente es 2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1, ^[18] con 388 342 dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre de 2016. ^[19]

Hay 808.675.888.577.436 pares primos gemelos por debajo de 10¹⁸ .^[20]^[21]

Un análisis empírico de todos los pares primos hasta 4,35 × 10¹⁵ muestra que si el número de tales pares menores que $x$ es $f (x) \cdot x /(log x) 2$ entonces $f (x)$ es aproximadamente 1,7 para $x$ pequeñas y disminuye hacia aproximadamente 1,3 a medida que $x$ tiende a infinito. Se conjetura que el valor límite de $f (x)$ es igual al doble de la constante de primos gemelos ( OEIS : A114907 ) (que no debe confundirse con la constante de Brun ), de acuerdo con la conjetura de Hardy-Littlewood.

Otras propiedades elementales

Cada tercer número impar es divisible por 3 y, por lo tanto, no pueden existir tres números impares sucesivos que sean primos a menos que uno de ellos sea 3. Por lo tanto, 5 es el único primo que forma parte de dos pares de primos gemelos. El miembro inferior de un par es, por definición, un primo de Chen .

Se ha demostrado ^[22] que el par ( m , m + 2) es primo gemelo si y sólo si

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.

Si m − 4 o m + 6 también son primos, entonces los tres primos se denominan triplete primo .

Para un par de primos gemelos de la forma (6 n − 1, 6 n + 1) para algún número natural n > 1, n debe terminar en el dígito 0, 2, 3, 5, 7 u 8 ( OEIS : A002822 ).

Prima aislada

Un primo aislado (también conocido como primo simple o primo no gemelo ) es un número primo p tal que ni p − 2 ni p + 2 son primos. En otras palabras, p no es parte de un par de primos gemelos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado, ya que 21 y 25 son ambos compuestos .

Los primeros primos aislados son

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

Del teorema de Brun se deduce que casi todos los primos están aislados en el sentido de que la relación entre el número de primos aislados menores que un umbral dado n y el número de todos los primos menores que n tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

Sloane, Neil ; Plouffe, Simon (1995). La enciclopedia de secuencias de números enteros . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.

Enlaces externos

"Gemelos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Los 20 mejores Twin Primes en las páginas Prime de Chris Caldwell
Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introducción a los números primos gemelos y la constante de Brun
"Comunicado de prensa oficial" del registro de primos gemelos de 58711 dígitos
Weisstein, Eric W. "Números primos gemelos". MathWorld .
Los 20.000 primeros primos gemelos
Polímata: Brechas acotadas entre números primos
Un avance repentino en el problema de los números primos deja a los matemáticos entusiasmados