La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias y los métodos constructivos de objetos geométricos discretos . La mayoría de las preguntas en geometría discreta involucran conjuntos finitos o discretos de objetos geométricos básicos, como puntos , líneas , planos , círculos , esferas , polígonos , etc. La materia se centra en las propiedades combinatorias de estos objetos, como la forma en que se intersecan entre sí o cómo se pueden organizar para cubrir un objeto más grande.
La geometría discreta tiene una gran superposición con la geometría convexa y la geometría computacional , y está estrechamente relacionada con temas como la geometría finita , la optimización combinatoria , la geometría digital , la geometría diferencial discreta , la teoría de grafos geométricos , la geometría tórica y la topología combinatoria .
Los poliedros y las teselaciones han sido estudiados durante muchos años por personas como Kepler y Cauchy , la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros temas estudiados fueron: la densidad de empaquetamientos de círculos por Thue , las configuraciones proyectivas por Reye y Steinitz , la geometría de los números por Minkowski y los coloreados de mapas por Tait, Heawood y Hadwiger .
László Fejes Tóth , HSM Coxeter y Paul Erdős sentaron las bases de la geometría discreta . [1] [2] [3]
Un politopo es un objeto geométrico con lados planos, que existe en cualquier número general de dimensiones. Un polígono es un politopo en dos dimensiones, un poliedro en tres dimensiones, y así sucesivamente en dimensiones superiores (como un 4-politopo en cuatro dimensiones). Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como politopos ilimitados ( apeirotopos y teselaciones ) y politopos abstractos .
Los siguientes son algunos de los aspectos de los politopos estudiados en geometría discreta:
Los empaquetamientos, recubrimientos y teselados son formas de disponer objetos uniformes (normalmente círculos, esferas o teselas) de manera regular sobre una superficie o colector .
Un empaquetamiento de esferas es una disposición de esferas no superpuestas dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas de tamaño idéntico y el espacio suele ser un espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacios euclidianos n -dimensionales (donde el problema se convierte en empaquetamiento circular en dos dimensiones o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .
Una teselación de una superficie plana es la disposición de un plano mediante una o más formas geométricas, llamadas mosaicos, sin superposiciones ni espacios vacíos. En matemáticas , las teselaciones se pueden generalizar a dimensiones superiores.
Los temas específicos en esta área incluyen:
La rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces flexibles o bisagras .
Los temas en esta área incluyen:
Las estructuras de incidencia generalizan planos (como el plano afín , el plano proyectivo y el plano de Möbius ), como se puede ver en sus definiciones axiomáticas. Las estructuras de incidencia también generalizan los análogos de dimensiones superiores y las estructuras finitas a veces se denominan geometrías finitas .
Formalmente, una estructura de incidencia es una triple
donde P es un conjunto de "puntos", L es un conjunto de "líneas" y es la relación de incidencia . Los elementos de se denominan banderas. Si
Decimos que el punto p "se encuentra sobre" la recta .
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Un matroide orientado es una estructura matemática que abstrae las propiedades de los gráficos dirigidos y de los arreglos de vectores en un espacio vectorial sobre un cuerpo ordenado (particularmente para espacios vectoriales parcialmente ordenados ). [4] En comparación, un matroide ordinario (es decir, no orientado) abstrae las propiedades de dependencia que son comunes tanto a los gráficos , que no son necesariamente dirigidos , como a los arreglos de vectores sobre cuerpos , que no son necesariamente ordenados . [5] [6]
Un gráfico geométrico es un gráfico en el que los vértices o las aristas están asociados a objetos geométricos . Algunos ejemplos son los gráficos euclidianos, el esqueleto 1 de un poliedro o politopo , los gráficos de disco unitario y los gráficos de visibilidad .
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Un complejo simplicial es un espacio topológico de un tipo determinado, construido "pegando" puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Ver también complejos geométricos aleatorios .
La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en topología y a principios del siglo XX esto se convirtió en el campo de la topología algebraica .
En 1978, la situación se invirtió (se utilizaron métodos de la topología algebraica para resolver un problema de combinatoria ) cuando László Lovász demostró la conjetura de Kneser , comenzando así el nuevo estudio de la combinatoria topológica . La prueba de Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam y este teorema conserva un papel destacado en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones equivalentes y análogos y se ha utilizado en el estudio de problemas de división justa .
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Un grupo discreto es un grupo G dotado de la topología discreta . Con esta topología, G se convierte en un grupo topológico . Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H cuya topología relativa es la discreta. Por ejemplo, los números enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los números reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no.
Una red en un grupo topológico localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio cociente tiene medida invariante finita . En el caso especial de subgrupos de R n , esto equivale a la noción geométrica habitual de una red , y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría de la totalidad de todas las redes se entienden relativamente bien. Los resultados profundos de Borel , Harish-Chandra , Mostow , Tamagawa , MS Raghunathan , Margulis , Zimmer obtenidos desde la década de 1950 hasta la de 1970 proporcionaron ejemplos y generalizaron gran parte de la teoría al contexto de grupos de Lie nilpotentes y grupos algebraicos semisimples sobre un cuerpo local . En la década de 1990, Bass y Lubotzky iniciaron el estudio de las redes de árboles , que sigue siendo un área de investigación activa.
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La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (normalmente conjuntos de puntos discretos ) considerados modelos o imágenes digitalizados de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .
En pocas palabras, la digitalización consiste en sustituir un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, en la pantalla de trama de un ordenador o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .
Sus principales áreas de aplicación son los gráficos por computadora y el análisis de imágenes . [7]
La geometría diferencial discreta es el estudio de las contrapartes discretas de las nociones de geometría diferencial . En lugar de curvas y superficies suaves, existen polígonos , mallas y complejos simpliciales . Se utiliza en el estudio de gráficos de computadora y combinatoria topológica .
Los temas en esta área incluyen:
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