Combinatoria topológica

La disciplina matemática de la combinatoria topológica es la aplicación de métodos topológicos y algebrotopológicos para resolver problemas en combinatoria .

Historia

La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en topología y, a principios del siglo XX, esto se convirtió en el campo de la topología algebraica .

En 1978 la situación se invirtió (se utilizaron métodos de topología algebraica para resolver un problema en combinatoria) cuando László Lovász demostró la conjetura de Kneser , comenzando así el nuevo campo de la combinatoria topológica . La prueba de Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam y este teorema conserva un papel destacado en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones equivalentes y análogos y se ha utilizado en el estudio de problemas de división equitativa .

En otra aplicación de métodos homológicos a la teoría de grafos , Lovász demostró las versiones dirigida y no dirigida de una conjetura de András Frank : Dado un grafo k -conexo G , k puntos y k enteros positivos que suman , existe una partición de tal que , y abarca un subgrafo conectado. ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V(G)}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle |V(G)|}$ ${\displaystyle \{V_{1},\ldots ,V_{k}\}}$ ${\displaystyle V(G)}$ ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}}$ ${\displaystyle |V_{i}|=n_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

En 1987, Noga Alon resolvió el problema de la división del collar utilizando el teorema de Borsuk-Ulam. También se ha utilizado para estudiar problemas de complejidad en algoritmos de árboles de decisión lineal y la conjetura de Aanderaa-Karp-Rosenberg . Otras áreas incluyen topología de conjuntos parcialmente ordenados y órdenes de Bruhat .

Además, los métodos de topología diferencial ahora tienen un análogo combinatorio en la teoría Morse discreta .

Ver también

• Lema de Sperner
• Cálculo exterior discreto
• Teoría de grafos topológicos
• Topología combinatoria
• Espacio topológico finito

Referencias

• de Longueville, Mark (2004), "25 años de prueba de la conjetura de Kneser: el advenimiento de la combinatoria topológica" (PDF) , EMS Newsletter , Southampton, Hampshire: European Mathematical Society, págs. 16-19 , consultado el 29 de julio de 2008.

Otras lecturas

• Björner, Anders (1995), "Métodos topológicos", en Graham, Ronald L .; Grötschel, Martín ; Lovász, László (eds.), Manual de combinatoria (PDF) , vol. 2, La prensa del MIT, ISBN 978-0-262-07171-0.
• Kozlov, Dmitry (2005), Tendencias en combinatoria topológica , arXiv : math.AT/0507390 , Bibcode :2005math......7390K.
• Kozlov, Dmitry (2007), Topología algebraica combinatoria , Springer, ISBN 978-3-540-71961-8.
• Lange, Carsten (2005), Curvaturas combinatorias, acciones grupales y coloraciones: aspectos de la combinatoria topológica (PDF) , Ph.D. tesis, Instituto Tecnológico de Berlín.
• Matoušek, Jiří (2003), Uso del teorema de Borsuk-Ulam: conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría , Springer, ISBN 978-3-540-00362-5.
• Barmak, Jonathan (2011), Topología algebraica de espacios y aplicaciones topológicos finitos , Springer, ISBN 978-3-642-22002-9.
• de Longueville, Mark (2011), Un curso de combinatoria topológica , Springer, ISBN 978-1-4419-7909-4.