Análisis de la forma espectral

El análisis de la forma espectral se basa en el espectro ( valores propios y/o funciones propias ) del operador de Laplace-Beltrami para comparar y analizar formas geométricas. Dado que el espectro del operador de Laplace-Beltrami es invariante en isometrías , es muy adecuado para el análisis o la recuperación de formas no rígidas, es decir, objetos flexibles como seres humanos, animales, plantas, etc.

Laplace

El operador de Laplace-Beltrami interviene en muchas ecuaciones diferenciales importantes, como la ecuación del calor y la ecuación de onda . Se puede definir en una variedad de Riemann como la divergencia del gradiente de una función de valor real f :

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.}$

Sus componentes espectrales se pueden calcular resolviendo la ecuación de Helmholtz (o problema de valor propio de Laplacio):

${\displaystyle \Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.}$

Las soluciones son las funciones propias (modos) y los valores propios correspondientes , que representan una secuencia divergente de números reales positivos. El primer valor propio es cero para dominios cerrados o cuando se utiliza la condición de contorno de Neumann . Para algunas formas, el espectro se puede calcular analíticamente (por ejemplo, rectángulo, toro plano, cilindro, disco o esfera). Para la esfera, por ejemplo, las funciones propias son los armónicos esféricos . ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Las propiedades más importantes de los valores y funciones propios son que son invariantes de isometría. En otras palabras, si la forma no se estira (por ejemplo, una hoja de papel doblada en la tercera dimensión), los valores espectrales no cambiarán. Los objetos flexibles, como los animales, las plantas y los humanos, pueden moverse en diferentes posturas corporales con solo un estiramiento mínimo en las articulaciones. Las formas resultantes se denominan casi isométricas y se pueden comparar mediante el análisis de formas espectrales.

Discretizaciones

Las formas geométricas se representan a menudo como superficies curvas 2D, mallas de superficies 2D (normalmente mallas triangulares ) u objetos sólidos 3D (por ejemplo, utilizando vóxeles o mallas de tetraedros ). La ecuación de Helmholtz se puede resolver para todos estos casos. Si existe un límite, por ejemplo, un cuadrado, o el volumen de cualquier forma geométrica 3D, es necesario especificar las condiciones de límite.

Existen varias discretizaciones del operador de Laplace (véase Operador discreto de Laplace ) para los diferentes tipos de representaciones geométricas. Muchos de estos operadores no se aproximan bien al operador continuo subyacente.

Descriptores de forma espectral

ShapeDNA y sus variantes

ShapeDNA es uno de los primeros descriptores de forma espectral. Es la secuencia inicial normalizada de los valores propios del operador Laplace-Beltrami. ^{[1] [2]} Sus principales ventajas son la representación simple (un vector de números) y la comparación, la invariancia de escala y, a pesar de su simplicidad, un muy buen desempeño para la recuperación de formas no rígidas. ^[3] Los competidores de shapeDNA incluyen valores singulares de la Matriz de Distancia Geodésica (SD-GDM) ^[4] y la Matriz de Distancia Biarmónica Reducida (R-BiHDM). ^[5] Sin embargo, los valores propios son descriptores globales, por lo tanto, shapeDNA y otros descriptores espectrales globales no se pueden usar para el análisis de forma local o parcial.

Firma de punto global (GPS)

La firma global del punto ^[6] en un punto es un vector de funciones propias escaladas del operador de Laplace-Beltrami calculado en (es decir, la incrustación espectral de la forma). El GPS es una característica global en el sentido de que no se puede utilizar para la correspondencia parcial de formas. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Firma del núcleo de calor (HKS)

La firma del núcleo de calor ^[7] hace uso de la descomposición propia del núcleo de calor :

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\varphi _{i}(x)\varphi _{i}(y).}$

Para cada punto de la superficie, se toma una muestra de la diagonal del núcleo de calor en valores de tiempo específicos y se obtiene una firma local que también se puede utilizar para la detección de simetría o coincidencia parcial. ${\displaystyle h_{t}(x,x)}$ ${\displaystyle t_{j}}$

Firma del núcleo de onda (WKS)

La WKS ^[8] sigue una idea similar a la HKS, reemplazando la ecuación de calor con la ecuación de onda de Schrödinger.

Firma de núcleo de onda mejorada (IWKS)

El IWKS ^[9] mejora el WKS para la recuperación de formas no rígidas introduciendo una nueva función de escala para los valores propios y agregando un nuevo término de curvatura.

Firma wavelet del gráfico espectral (SGWS)

SGWS es un descriptor local que no sólo es invariante isométricamente, sino también compacto, fácil de calcular y combina las ventajas de los filtros de paso de banda y de paso bajo. Una faceta importante de SGWS es la capacidad de combinar las ventajas de WKS y HKS en una única firma, permitiendo al mismo tiempo una representación de formas en múltiples resoluciones. ^[10]

Coincidencia espectral

La descomposición espectral del laplaciano gráfico asociado con formas complejas (ver Operador discreto de Laplace ) proporciona funciones propias (modos) que son invariantes a las isometrías. Cada vértice de la forma podría representarse de forma única con una combinación de los valores de los modos propios en cada punto, a veces llamados coordenadas espectrales:

${\displaystyle s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x)){\text{ for vertex }}x.}$

La correspondencia espectral consiste en establecer las correspondencias de puntos mediante el emparejamiento de vértices en diferentes formas que tienen las coordenadas espectrales más similares. Los primeros trabajos ^{[11] [12] [13]} se centraron en correspondencias dispersas para estereoscopía. La eficiencia computacional ahora permite correspondencias densas en mallas completas, por ejemplo, entre superficies corticales. ^[14] La correspondencia espectral también podría usarse para el registro de imágenes no rígidas complejas , lo que es notablemente difícil cuando las imágenes tienen deformaciones muy grandes. ^[15] Dichos métodos de registro de imágenes basados ​​en valores eigenmodales espectrales capturan de hecho características de forma globales y contrastan con los métodos de registro de imágenes no rígidos convencionales que a menudo se basan en características de forma locales (por ejemplo, gradientes de imagen).

Referencias

1. Reuter, M.; Wolter, F.-E.; Peinecke, N. (2005). "Espectros de Laplace como huellas dactilares para la correspondencia de formas". Actas del Simposio ACM de 2005 sobre modelado físico y sólido . págs. 101–106. doi :10.1145/1060244.1060256.
2. Reuter, M.; Wolter, F.-E.; Peinecke, N. (2006). "Espectros de Laplace–Beltrami como forma-ADN de superficies y sólidos". Diseño asistido por ordenador . 38 (4): 342–366. doi :10.1016/j.cad.2005.10.011. S2CID  7566792.
3. Lian, Z.; et al. (2011). "SHREC'11 track: recuperación de forma en mallas estancas 3D no rígidas". Actas del taller Eurographics 2011 sobre recuperación de objetos 3D (3DOR'11) . págs. 79–88. doi :10.2312/3DOR/3DOR11/079-088.
4. Smeets, Dirk; Fabry, Thomas; Hermans, Jeroen; Vandermeulen, Dirk; Suetens, Paul (2009). "Modelado de deformación isométrica para reconocimiento de objetos". Análisis informático de imágenes y patrones . Apuntes de clase en informática. Vol. 5702. págs. 757–765. Código Bibliográfico :2009LNCS.5702..757S. doi :10.1007/978-3-642-03767-2_92. ISBN: 978-3-642-03767-2_92 . 978-3-642-03766-5.
5. Ye, J.; Yu, Y. (2015). "Una transformación rápida del espacio modal para la recuperación robusta de formas no rígidas". The Visual Computer . 32 (5): 553–568. doi :10.1007/s00371-015-1071-5. hdl : 10722/215522 . S2CID  16707677.
6. Rustamov, RM (4 de julio de 2007). "Funciones propias de Laplace-Beltrami para la representación de formas invariantes a la deformación". Actas del quinto simposio de Eurographics sobre procesamiento geométrico . Asociación Eurographics. págs. 225-233. ISBN 978-3-905673-46-3.
7. Sun, J.; Ovsjanikov, M.; Guibas, L. (2009). "Una firma multiescala concisa y demostrablemente informativa basada en la difusión del calor". Computer Graphics Forum . Vol. 28. págs. 1383–92. CiteSeerX 10.1.1.157.2592 . doi :10.1111/j.1467-8659.2009.01515.x. 
8. Aubry, M.; Schlickewei, U.; Cremers, D. (2011). "La firma del núcleo de onda: un enfoque mecánico cuántico para el análisis de formas". Talleres de visión por computadora (talleres ICCV), Conferencia internacional IEEE de 2011 sobre . págs. 1626–1633. doi :10.1109/ICCVW.2011.6130444.
9. Limberger, FA y Wilson, RC (2015). "Codificación de características de firmas espectrales para recuperación de formas no rígidas en 3D". Actas de la British Machine Vision Conference (BMVC) . págs. 56.1–56.13. doi : 10.5244/C.29.56 . ISBN . 978-1-901725-53-7.
10. Masoumi, Majid; Li, Chunyuan; Ben Hamza, A (2016). "Un enfoque de wavelet de gráfico espectral para la recuperación de forma 3D no rígida". Pattern Recognition Letters . 83 : 339–48. Código Bibliográfico :2016PaReL..83..339M. doi :10.1016/j.patrec.2016.04.009.
11. Umeyama, S (1988). "Un enfoque de descomposición propia para problemas de correspondencia de grafos ponderados". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 10 (5): 695–703. doi :10.1109/34.6778.
12. Scott, GL; Longuet-Higgins, HC (1991). "Un algoritmo para asociar las características de dos imágenes". Actas de la Royal Society de Londres. Serie B: Ciencias biológicas . 244 (1309): 21–26. Bibcode :1991RSPSB.244...21S. doi :10.1098/rspb.1991.0045. PMID  1677192. S2CID  13011932.
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14. Lombaert, H; Grady, L; Polimeni, JR; Cheriet, F (2013). "FOCUSR: Correspondencia orientada a características utilizando regularización espectral: un método para la correspondencia precisa de superficies". Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia artificial . 35 (9): 2143–2160. doi :10.1109/tpami.2012.276. PMC 3707975 . PMID  23868776. 
15. Lombaert, H; Grady, L; Pennec, X; Ayache, N; Cheriet, F (2014). "Demonios logarítmicos espectrales: registro de imágenes difeomórficas con deformaciones muy grandes". Revista internacional de visión por computadora . 107 (3): 254–271. CiteSeerX 10.1.1.649.9395 . doi :10.1007/s11263-013-0681-5. S2CID  3347129.