En geometría , el empaquetamiento de círculos es el estudio de la disposición de círculos (de tamaños iguales o diferentes) en una superficie determinada de manera que no se produzca superposición y de modo que ningún círculo pueda ampliarse sin crear una superposición. La densidad de empaquetamiento asociada , η , de una disposición es la proporción de la superficie cubierta por los círculos. Se pueden hacer generalizaciones a dimensiones superiores: esto se denomina empaquetamiento de esferas , que generalmente trata solo con esferas idénticas.
La rama de las matemáticas generalmente conocida como "empaquetado de círculos" se ocupa de la geometría y la combinatoria de empaquetamientos de círculos de tamaño arbitrario: estos dan lugar a análogos discretos del mapeo conforme , superficies de Riemann y similares.
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En el plano euclidiano bidimensional , Joseph Louis Lagrange demostró en 1773 que el empaquetamiento de círculos en una red de mayor densidad es la disposición de empaquetamiento hexagonal , [1] en la que los centros de los círculos están dispuestos en una red hexagonal (filas al tresbolillo, como un panal ), y cada círculo está rodeado por otros seis círculos. Para círculos de diámetro D y hexágonos de longitud de lado D , el área del hexágono y el área del círculo son, respectivamente:
El área cubierta dentro de cada hexágono por círculos es:
Finalmente, la densidad de empaquetamiento es:
En 1890, Axel Thue publicó una prueba de que esta misma densidad es óptima entre todos los empaquetamientos, no solo entre los empaquetamientos de celosía, pero algunos consideraron que su prueba estaba incompleta. La primera prueba rigurosa se atribuye a László Fejes Tóth en 1942. [1] [2]
Si bien el círculo tiene una densidad de empaquetamiento máxima relativamente baja, no tiene la más baja posible, incluso entre formas convexas con simetría central : el octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento de aproximadamente 0,902414, la más pequeña conocida para formas convexas con simetría central y que se conjetura que ser el más pequeño posible. [3] (Las densidades de empaquetamiento de formas cóncavas, como los polígonos de estrellas, pueden ser arbitrariamente pequeñas).
En el otro extremo, Böröczky demostró que existen disposiciones de círculos rígidamente empaquetados con densidades arbitrariamente bajas. [4] [5]
Hay once empaquetamientos circulares basados en los once mosaicos uniformes del avión. [6] En estos empaquetamientos, cada círculo se puede asignar a cualquier otro círculo mediante reflexiones y rotaciones. Los espacios hexagonales se pueden llenar con un círculo y los espacios dodecagonales se pueden llenar con siete círculos, creando empaquetaduras de 3 uniformes. El mosaico trihexagonal truncado con ambos tipos de espacios se puede rellenar como un embalaje de 4 uniformes. El mosaico chato hexagonal tiene dos formas especulares.
Un problema relacionado es determinar la disposición de menor energía de puntos que interactúan de manera idéntica y que están obligados a permanecer dentro de una superficie determinada. El problema de Thomson trata de la distribución de energía más baja de cargas eléctricas idénticas en la superficie de una esfera. El problema de Tammes es una generalización de esto y se ocupa de maximizar la distancia mínima entre círculos en una esfera. Esto es análogo a distribuir cargas no puntuales en una esfera.
Empacar círculos en formas acotadas simples es un tipo común de problema en matemáticas recreativas . La influencia de las paredes del contenedor es importante y el empaquetamiento hexagonal generalmente no es óptimo para un número pequeño de círculos. Los problemas específicos de este tipo que se han estudiado incluyen:
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También hay una serie de problemas que permiten que los tamaños de los círculos no sean uniformes. Una de esas extensiones es encontrar la densidad máxima posible de un sistema con dos tamaños específicos de círculo (un sistema binario ). Solo nueve relaciones de radio particulares permiten un empaquetamiento compacto , que es cuando cada par de círculos en contacto está en contacto mutuo con otros dos círculos (cuando se dibujan segmentos de línea desde el centro del círculo en contacto con el centro del círculo, triangularan la superficie). [7] Para todas estas relaciones de radio se conoce una empaquetadura compacta que logra la máxima fracción de empaquetadura posible (por encima de la de discos de tamaño uniforme) para mezclas de discos con esa relación de radio. [9] Los nueve tienen empaquetaduras de proporciones específicas más densas que el empaquetamiento hexagonal uniforme, al igual que algunas relaciones de radio sin empaquetaduras compactas. [10]
También se sabe que si la relación de radio es superior a 0,742, una mezcla binaria no puede empaquetarse mejor que los discos de tamaño uniforme. [8] También se han obtenido límites superiores para la densidad que se puede obtener en dichos empaquetamientos binarios en proporciones más pequeñas. [11]
La modulación de amplitud en cuadratura se basa en empaquetar círculos en círculos dentro de un espacio de amplitud de fase. Un módem transmite datos como una serie de puntos en un plano bidimensional de amplitud de fase. La distancia entre los puntos determina la tolerancia al ruido de la transmisión, mientras que el diámetro del círculo circundante determina la potencia de transmisión requerida. El rendimiento se maximiza cuando la constelación de puntos de código se encuentra en los centros de un empaquetado circular eficiente. En la práctica, a menudo se utilizan empaquetaduras rectangulares subóptimas para simplificar la decodificación.
Empacar círculos se ha convertido en una herramienta esencial en el diseño de origami , ya que cada apéndice de una figura de origami requiere un círculo de papel. [12] Robert J. Lang ha utilizado las matemáticas del empaquetamiento de círculos para desarrollar programas de computadora que ayudan en el diseño de figuras complejas de origami.
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28cb2f36b873aa2e71ce641d35b0f85647bb2cf4)
![{\displaystyle {\begin{alineado}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi } {4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{ 2{\sqrt {3}}}}\aproximadamente 0,9069\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce7969e21bb1fa83cd9c7f81fa9eca8fa096e38)