Zonoedro

Poliedro convexo proyectado a partir del hipercubo

En geometría , un zonoedro es un poliedro convexo que es centralmente simétrico , cada cara del cual es un polígono que es centralmente simétrico (un zonógono ). Cualquier zonoedro puede describirse de manera equivalente como la suma de Minkowski de un conjunto de segmentos de línea en el espacio tridimensional, o como una proyección tridimensional de un hipercubo . Los zonohedros fueron originalmente definidos y estudiados por ES Fedorove , un cristalógrafo ruso . De manera más general, en cualquier dimensión, la suma de Minkowski de segmentos de línea forma un politopo conocido como zonotopo .

Zonoedros que forman el espacio de mosaico

La motivación original para estudiar los zonoedros es que el diagrama de Voronoi de cualquier red forma un panal convexo uniforme en el que las celdas son zonoedros. Cualquier zonoedro formado de esta manera puede teselar el espacio tridimensional y se denomina paraleloedro primario . Cada paraleloedro primario es combinatoriamente equivalente a uno de cinco tipos: el romboedro (incluido el cubo ), el prisma hexagonal , el octaedro truncado , el dodecaedro rómbico y el dodecaedro rombohexagonal .

Zonoedros de las sumas de Minkowski

Un zonotopo es la suma de Minkowski de segmentos de línea. Los dieciséis puntos de color rojo oscuro (a la derecha) forman la suma de Minkowski de los cuatro conjuntos no convexos (a la izquierda), cada uno de los cuales consta de un par de puntos rojos. Sus envolturas convexas (sombreadas en rosa) contienen signos más (+): el signo más de la derecha es la suma de los signos más de la izquierda.

Sea una colección de vectores tridimensionales . A cada vector se le puede asociar un segmento de recta . La suma de Minkowski forma un zonoedro, y todos los zonoedros que contienen el origen tienen esta forma. Los vectores a partir de los cuales se forma el zonoedro se denominan sus generadores . Esta caracterización permite generalizar la definición de zonoedros a dimensiones superiores, dando lugar a los zonotopos. ${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$

Cada arista de un zonoedro es paralela a al menos uno de los generadores y tiene una longitud igual a la suma de las longitudes de los generadores a los que es paralela. Por lo tanto, al elegir un conjunto de generadores sin pares de vectores paralelos y al establecer todas las longitudes de los vectores iguales, podemos formar una versión equilátera de cualquier tipo combinatorio de zonoedro.

Eligiendo conjuntos de vectores con altos grados de simetría, podemos formar de esta manera, zonohedros con al menos tanta simetría. Por ejemplo, generadores igualmente espaciados alrededor del ecuador de una esfera, junto con otro par de generadores a través de los polos de la esfera, forman zonohedros en forma de prisma sobre -gonos regulares: el cubo , prisma hexagonal , prisma octogonal , prisma decagonal , prisma dodecagonal , etc. Los generadores paralelos a las aristas de un octaedro forman un octaedro truncado , y los generadores paralelos a las diagonales largas de un cubo forman un dodecaedro rómbico . ^[1] ${\displaystyle 2k}$

La suma de Minkowski de dos zonoedros cualesquiera es otro zonoedro, generado por la unión de los generadores de los dos zonoedros dados. Por lo tanto, la suma de Minkowski de un cubo y un octaedro truncado forma el cuboctaedro truncado , mientras que la suma de Minkowski del cubo y el dodecaedro rómbico forma el dodecaedro rómbico truncado . Ambos zonoedros son simples (tres caras se encuentran en cada vértice), al igual que el pequeño rombicuboctaedro truncado formado a partir de la suma de Minkowski del cubo, el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico. ^[1]

Zonohedros de arreglos

El mapa de Gauss de cualquier poliedro convexo asigna cada cara del polígono a un punto en la esfera unitaria, y asigna cada borde del polígono que separa un par de caras a un arco de círculo máximo que conecta los dos puntos correspondientes. En el caso de un zonoedro, los bordes que rodean cada cara se pueden agrupar en pares de bordes paralelos, y cuando se traduce a través del mapa de Gauss, cualquier par de estos se convierte en un par de segmentos contiguos en el mismo círculo máximo. Por lo tanto, los bordes del zonoedro se pueden agrupar en zonas de bordes paralelos, que corresponden a los segmentos de un círculo máximo común en el mapa de Gauss, y el esqueleto 1 del zonoedro se puede ver como el gráfico dual planar de una disposición de círculos máximos en la esfera. A la inversa, cualquier disposición de círculos máximos se puede formar a partir del mapa de Gauss de un zonoedro generado por vectores perpendiculares a los planos que pasan por los círculos.

De esta manera, cualquier zonoedro simple corresponde a una disposición simplicial , en la que cada cara es un triángulo. Las disposiciones simpliciales de círculos máximos corresponden, mediante proyección central, a disposiciones simpliciales de líneas en el plano proyectivo . Se conocen tres familias infinitas de disposiciones simpliciales, una de las cuales conduce a los prismas cuando se convierten en zonoedros, y las otras dos corresponden a familias infinitas adicionales de zonoedros simples. También hay muchos ejemplos esporádicos que no encajan en estas tres familias. ^[2]

De la correspondencia entre zonoedros y ordenaciones, y del teorema de Sylvester-Gallai que (en su forma dual proyectiva ) prueba la existencia de cruces de sólo dos líneas en cualquier ordenación, se deduce que cada zonoedro tiene al menos un par de caras opuestas de paralelogramo . (Los cuadrados, rectángulos y rombos cuentan para este propósito como casos especiales de paralelogramos). Más fuertemente, cada zonoedro tiene al menos seis caras de paralelogramo, y cada zonoedro tiene un número de caras de paralelogramo que es lineal en su número de generadores. ^[3]

Tipos de zonoedros

Cualquier prisma sobre un polígono regular con un número par de lados forma un zonoedro. Estos prismas pueden formarse de manera que todas sus caras sean regulares: dos caras opuestas son iguales al polígono regular a partir del cual se formó el prisma, y ​​estas están conectadas por una secuencia de caras cuadradas. Los zonoedros de este tipo son el cubo , el prisma hexagonal , el prisma octogonal , el prisma decagonal , el prisma dodecagonal , etc.

Además de esta familia infinita de zonoedros de caras regulares, hay tres sólidos arquimedianos , todos ellos omnitruncamientos de las formas regulares:

• El octaedro truncado , con 6 caras cuadradas y 8 hexagonales. (Tetraedro omnitruncado)
• El cuboctaedro truncado , con 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octógonos. (Cubo omnitruncado)
• El icosidodecaedro truncado , con 30 cuadrados, 20 hexágonos y 12 decágonos. (Dodecaedro omnitruncado)

Además, ciertos sólidos catalanes (duales de los sólidos arquimedianos) son nuevamente zonoedros:

• El dodecaedro rómbico de Kepler es el dual del cuboctaedro .
• El triacontaedro rómbico es el dual del icosidodecaedro .

Otros con caras rómbicas congruentes:

• Dodecaedro rómbico de Bilinski .
• Icosaedro rómbico
• Romboedro

Existen infinitos zonohedros con caras rómbicas que no son todas congruentes entre sí. Entre ellos se incluyen:

• Eneacontaedro rómbico

Disección de zonohedros

Todo zonoedro con zonas se puede dividir en paralelepípedos , cada uno con tres zonas iguales, y con un paralelepípedo por cada triple de zonas. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{3}}}$

El invariante de Dehn de cualquier zonoedro es cero. Esto implica que dos zonoedros cualesquiera con el mismo volumen pueden diseccionarse entre sí. Esto significa que es posible cortar uno de los dos zonoedros en piezas poliédricas que pueden volver a ensamblarse para formar el otro. ^[5]

Zonohedrificación

La zonohedrificación es un proceso definido por George W. Hart para crear un zonohedro a partir de otro poliedro. ^{[6] [7]}

En primer lugar, los vértices de cualquier poliedro semilla se consideran vectores desde el centro del poliedro. Estos vectores crean el zonoedro, al que llamamos zonoedrificación del poliedro original. Si el poliedro semilla tiene simetría central , los puntos opuestos definen la misma dirección, por lo que el número de zonas en el zonoedro es la mitad del número de vértices de la semilla. Para dos vértices cualesquiera del poliedro original, hay dos planos opuestos de la zonoedrificación que tienen cada uno dos aristas paralelas a los vectores de los vértices.

Zonotopos

La suma de Minkowski de segmentos de línea en cualquier dimensión forma un tipo de politopo llamado zonotopo . De manera equivalente, un zonotopo generado por vectores viene dado por . Nótese que en el caso especial donde , el zonotopo es un paraleletopo (posiblemente degenerado) . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle Z}$

Las facetas de cualquier zonotopo son en sí mismas zonótopos de una dimensión inferior; por ejemplo, las caras de los zonohedros son zonógonos . Entre los ejemplos de zonótopos de cuatro dimensiones se incluyen el teseracto (sumas de Minkowski de d segmentos de línea de longitud igual mutuamente perpendiculares), el zonótopo omnitruncado de 5 celdas y el zonótopo truncado de 24 celdas . Todo permutoedro es un zonótopo.

Zonotopos y matroides

Fijemos un zonotopo definido a partir del conjunto de vectores y sea la matriz cuyas columnas son . Entonces, el matroide vectorial en las columnas de codifica una gran cantidad de información sobre , es decir, muchas propiedades de son de naturaleza puramente combinatoria. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Por ejemplo, los pares de facetas opuestas de están indexados naturalmente por los cocircuitos de y si consideramos el matroide orientado representado por , entonces obtenemos una biyección entre facetas de y cocircuitos con signo de que se extiende a un antiisomorfismo de poset entre la red de caras de y los covectores de ordenados por extensión componente a componente de . En particular, si y son dos matrices que difieren por una transformación proyectiva , entonces sus respectivos zonotopos son combinatoriamente equivalentes. El recíproco del enunciado anterior no se cumple: el segmento es un zonotopo y es generado por ambos y por cuyas matrices correspondientes, y , no difieren por una transformación proyectiva. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {M}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 0\prec +,-}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1~1]}$

Azulejos

Las propiedades de teselación del zonotopo también están estrechamente relacionadas con el matroide orientado asociado a él. Primero consideramos la propiedad de teselación espacial. Se dice que el zonotopo está teselado si hay un conjunto de vectores tales que la unión de todas las traslaciones ( ) es y dos traslaciones cualesquiera se intersecan en una cara (posiblemente vacía) de cada una. Un zonotopo de este tipo se llama zonotopo de teselación espacial. La siguiente clasificación de los zonotopos de teselación espacial se debe a McMullen: ^[8] El zonotopo generado por los vectores tesela el espacio si y solo si el matroide orientado correspondiente es regular . Entonces, la condición aparentemente geométrica de ser un zonotopo de teselación espacial en realidad depende solo de la estructura combinatoria de los vectores generadores. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z+\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$

Otra familia de teselaciones asociadas al zonotopo son las teselaciones zonotopales de . Una colección de zonotopos es una teselación zonotopal de si es un complejo poliédrico con soporte , es decir, si la unión de todos los zonotopos de la colección es y dos cualesquiera se intersecan en una cara común (posiblemente vacía) de cada uno. Muchas de las imágenes de zonohedros en esta página pueden verse como teselaciones zonotopales de un zonotopo bidimensional simplemente considerándolas como objetos planos (en oposición a representaciones planas de objetos tridimensionales). El teorema de Bohne-Dress establece que existe una biyección entre las teselaciones zonotopales del zonotopo y los levantamientos de un solo elemento del matroide orientado asociado a . ^{[9] [10]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$

Volumen

Los zonohedros, y los zonótopos n -dimensionales en general, son notables por admitir una fórmula analítica simple para su volumen. ^[11]

Sea el zonotopo generado por un conjunto de vectores . Entonces el volumen n-dimensional de está dado por ${\displaystyle Z(S)}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$ ${\displaystyle Z(S)}$

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|}$

El determinante de esta fórmula tiene sentido porque (como se señaló anteriormente) cuando el conjunto tiene cardinalidad igual a la dimensión del espacio ambiente, el zonotopo es un paralelotopo. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Tenga en cuenta que cuando , esta fórmula simplemente establece que el zonotopo tiene un volumen n cero. ${\displaystyle k<n}$

Referencias

1. Eppstein, David (1996). "Zonohedros y zonotopos". Mathematica en Educación e Investigación . 5 (4): 15–21.
2. Grünbaum, Branko (2009). "Un catálogo de arreglos simpliciales en el plano proyectivo real". Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. doi : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . MR  2485643.
3. Shephard, GC (1968). "Veinte problemas sobre poliedros convexos, parte I". The Mathematical Gazette . 52 (380): 136–156. doi :10.2307/3612678. JSTOR  3612678. MR  0231278. S2CID  250442107.
4. Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares (3.ª ed.). Methuen. pág. 258.
5. Akiyama, Jin ; Matsunaga, Kiyoko (2015), "15.3 El tercer problema de Hilbert y el teorema de Dehn", Treks Into Intuitive Geometry , Springer, Tokio, págs. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5, Sr.  3380801.
6. "Zonohedrificación".
7. Zonohedrificación , George W. Hart, The Mathematica Journal , 1999, Volumen: 7, Número: 3, págs. 374-389 [1] [2]
8. McMullen, Peter (1975). "Zonotopos de teselación espacial". Mathematika . 22 (2): 202–211. doi :10.1112/S0025579300006082.
9. J. Bohne, Eine kombinatorische Analyse zonotopaler Raumaufteilungen, Disertación, Bielefeld 1992; Preimpresión 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 páginas.
10. Richter-Gebert, J. y Ziegler, GM (1994). Los mosaicos zonotópicos y el teorema de Bohne-Dress. Matemáticas Contemporáneas, 178, 211-211.
11. McMullen, Peter (1984-05-01). "Volúmenes de proyecciones de cubos unitarios". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (3): 278–280. doi :10.1112/blms/16.3.278. ISSN  0024-6093.

• Coxeter, HS M (1962). "La clasificación de zonohedros por medio de diagramas proyectivos". J. Math. Pures Appl . 41 : 137–156. Reimpreso en Coxeter, HS M (1999). La belleza de la geometría . Mineola, NY: Dover. pp. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
• Fedorov, ES (1893). "Elementos de la Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
• Rolf Schneider, Capítulo 3.5 "Zonoides y otras clases de cuerpos convexos" en Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Shephard, GC (1974). "Zonotopos que llenan el espacio". Mathematika . 21 (2): 261–269. doi :10.1112/S0025579300008652.
• Taylor, Jean E. (1992). "Zonohedros y zonohedros generalizados". American Mathematical Monthly . 99 (2): 108–111. doi :10.2307/2324178. JSTOR  2324178.
• Beck, M.; Robins, S. (2007). Cálculo de la función continua de forma discreta . Springer Science+ Business Media, LLC.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Zonohedron". MathWorld .
• Eppstein, David . "El basurero de la geometría: zonohedros y zonotopos".
• Hart, George W. "Poliedros virtuales: zonohedros".
• Weisstein, Eric W. "Paraleloedro primario". MathWorld .
• Bulatov, Vladimir. "Completar poliedros zonóhedricos".
• Centore, Paul. "Capítulo 2 de La geometría del color" (PDF) .