Espacio en barril

Tipo de espacio vectorial topológico

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio abarrilado (también escrito barreled space ) es un espacio vectorial topológico (TVS) para el cual cada conjunto abarrilado en el espacio es un entorno para el vector cero . Un conjunto abarrilado o un barril en un espacio vectorial topológico es un conjunto que es convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . Los espacios abarrilados se estudian porque una forma del teorema de Banach-Steinhaus todavía se cumple para ellos. Los espacios abarrilados fueron introducidos por Bourbaki  (1950).

Barriles

Un subconjunto convexo y equilibrado de un espacio vectorial real o complejo se denomina disco y se dice que es discoidal , absolutamente convexo o convexo equilibrado .

Abarril o unUn conjunto con forma de barril en unespacio vectorial topológico(TVS) es un subconjunto que es unabsorbentecerrado ; es decir, un barril es un subconjunto convexo, equilibrado, cerrado y absorbente.

Todo barril debe contener el origen. Si y si es cualquier subconjunto de entonces es un conjunto convexo, equilibrado y absorbente de si y solo si todo esto es cierto de en para cada subespacio vectorial de dimensión - , por lo tanto, si entonces el requisito de que un barril sea un subconjunto cerrado de es la única propiedad definitoria que no depende únicamente de subespacios vectoriales de dimensión (o inferior) de ${\displaystyle \dim X\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle \dim X>2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X.}$

Si es cualquier TVS entonces cada vecindad cerrada, convexa y equilibrada del origen es necesariamente un barril en (porque cada vecindad del origen es necesariamente un subconjunto absorbente). De hecho, cada espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base de vecindad en su origen que consiste enteramente en barriles. Sin embargo, en general, podrían existir barriles que no sean vecindades del origen; los "espacios con barriles" son exactamente aquellos TVS en los que cada barril es necesariamente una vecindad del origen. Cada espacio vectorial topológico de dimensión finita es un espacio con barriles, por lo que los ejemplos de barriles que no son vecindades del origen solo se pueden encontrar en espacios de dimensión infinita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos de barriles y no barriles

El cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es un barril. Esto se debe a que el cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, cualquier subconjunto equilibrado y cualquier subconjunto absorbente) tiene esta misma propiedad.

Una familia de ejemplos : Supongamos que es igual a (si se considera como un espacio vectorial complejo) o igual a (si se considera como un espacio vectorial real). Independientemente de si es un espacio vectorial real o complejo, cada barril en es necesariamente un vecindario del origen (por lo que es un ejemplo de un espacio con barriles). Sea cualquier función y para cada ángulo sea el segmento de línea cerrado desde el origen hasta el punto Sea Entonces es siempre un subconjunto absorbente de (un espacio vectorial real) pero es un subconjunto absorbente de (un espacio vectorial complejo) si y solo si es un vecindario del origen. Además, es un subconjunto equilibrado de si y solo si para cada (si este es el caso, entonces y están completamente determinados por los valores de en ) pero es un subconjunto equilibrado de si y solo si es una bola abierta o cerrada centrada en el origen (de radio ). En particular, los barriles en son exactamente aquellas bolas cerradas centradas en el origen con radio en Si entonces es un subconjunto cerrado que absorbe en pero no absorbe en y que no es convexo, equilibrado ni un vecindario del origen en Mediante una elección apropiada de la función también es posible tener un subconjunto equilibrado y absorbente de que no es ni cerrado ni convexo. Para tener un subconjunto equilibrado, absorbente y cerrado de que no es convexo ni un vecindario del origen, defina en de la siguiente manera: para sea (alternativamente, puede ser cualquier función positiva en que sea continuamente diferenciable, lo que garantiza que y que sea cerrado, y que también satisfaga lo que impide ser un vecindario del origen) y luego extienda a definiendo cuál garantiza que esté equilibrado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle S_{\theta }}$ ${\displaystyle R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$ ${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R(\theta )=R(\pi +\theta )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (0,\infty ].}$ ${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,}$ ${\displaystyle R(\theta ):=\pi -\theta }$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$ ${\displaystyle R(\theta ):=R(\theta -\pi ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Propiedades de los barriles

• En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), cada barril absorbe cada subconjunto convexo compacto de ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• En cualquier TVS de Hausdorff localmente convexo , cada barril absorbe cada subconjunto completo acotado convexo de ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es localmente convexo entonces un subconjunto de está acotado si y sólo si existe un barril en tal que ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$
• Sea un emparejamiento y sea una topología localmente convexa en consistente con la dualidad. Entonces un subconjunto de es un barril en si y solo si es el polar de algún subconjunto acotado de ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supóngase que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y Si es un barril (resp. barril bornívoro , disco bornívoro) en entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en tal que ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Caracterizaciones de espacios con barriles

Denotamos por el espacio de aplicaciones lineales continuas de en ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) con espacio dual continuo , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$está en cañón.
2. Definición : Cada barriles un barrio del origen. ${\displaystyle X}$
   • Esta definición es similar a una caracterización de los TVS de Baire probada por Saxon [1974], quien demostró que un TVS con una topología que no es la topología indiscreta es un espacio de Baire si y solo si cada subconjunto balanceado absorbente es un vecindario de algún punto de (no necesariamente el origen). ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
3. Para cualquier TVS de Hausdorff, cada subconjunto puntualmente acotado de es equicontinuo. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
4. Para cualquier F-espacio, cada subconjunto puntualmente acotado de es equicontinuo. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • Un espacio F es un TVS metrizable completo .
5. Todo operador lineal cerrado de un TVS metrizable completo es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Un mapa lineal se llama cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
6. Toda topología TVS de Hausdorff que tenga una base de vecindad del origen que consiste en un conjunto cerrado es, por supuesto, ^[5] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Si es un espacio localmente convexo , entonces esta lista se puede ampliar añadiendo: ${\displaystyle (X,\tau )}$

7. Existe un TVS que no lleva la topología indiscreta (en particular, ) tal que cada subconjunto puntualmente acotado de es equicontinuo. ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
8. Para cualquier TVS localmente convexo, cada subconjunto puntualmente acotado de es equicontinuo. ^[2] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • De las dos caracterizaciones anteriores se desprende que, en la clase de TVS localmente convexos, los espacios en barril son exactamente aquellos para los que se cumple el principio de acotación uniforme.
9. Todo subconjunto acotado del espacio dual continuo es equicontinuo (esto proporciona una respuesta recíproca parcial al teorema de Banach-Steinhaus ). ^{[2] [6]} ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$lleva la topología dual fuerte ^[2] ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$
11. Toda seminorma semicontinua inferior es continua . ^[2] ${\displaystyle X}$
12. Toda función lineal en un espacio localmente convexo es casi continua. ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Un mapa lineal se llama ${\displaystyle F:X\to Y}$casi continua si por cada barriodel origen enel cierre dees un barrio del origen en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
13. Toda función lineal sobreyectiva de un espacio localmente convexo es casi abierta . ^[2] ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$
    • Esto significa que por cada vecindad de 0 en el cierre de hay una vecindad de 0 en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F(V)}$ ${\displaystyle X.}$
14. Si es una topología localmente convexa tal que tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos -cerrados, entonces es más débil que ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau .}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces esta lista se puede ampliar añadiendo: ${\displaystyle X}$

15. Teorema del grafo cerrado : Todo operador lineal cerrado en un espacio de Banach es continuo . ^[7] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • El operador lineal se llama cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X\times Y.}$
16. Para cada subconjunto del espacio dual continuo las siguientes propiedades son equivalentes: es ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$
    1. equicontinuo;
    2. relativamente débilmente compacto;
    3. fuertemente delimitado;
    4. débilmente delimitado.
17. Las bases de vecindad 0 en y las familias fundamentales de conjuntos acotados en se corresponden entre sí por polaridad . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Si es un espacio vectorial topológico metrizable , entonces esta lista se puede ampliar añadiendo: ${\displaystyle X}$

18. Para cualquier TVS metrizable completo, cada secuencia puntualmente acotada en es equicontinua. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Si es un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo , entonces esta lista se puede ampliar añadiendo: ${\displaystyle X}$

19. (Propiedad S ): La topología débil* enes secuencialmente completa . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
20. (Propiedad C ): Todo subconjunto débil* acotado dees-relativamente numerablemente compacto . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
21. (𝜎-barreled ): Todo subconjunto débil* contable y acotado dees equicontinuo. ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
22. (Baire-like ):no es la unión de una secuencia de aumento de discos densos en ninguna parte . ^[8] ${\displaystyle X}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada uno de los siguientes espacios vectoriales topológicos tiene forma de barril:

1. TVS que son espacio Baire .
   • En consecuencia, todo espacio vectorial topológico que sea de la segunda categoría en sí mismo es un espacio en forma de barril.
2. Espacios F , espacios de Fréchet , espacios de Banach y espacios de Hilbert .
   • Sin embargo, existen espacios vectoriales normados que no tienen forma de barril. Por ejemplo, si el espacio - se topologea como un subespacio de entonces no tiene forma de barril. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$
3. TVS pseudometrizables completos . ^[9]
   • En consecuencia, todo TVS de dimensión finita tiene un cañón.
4. Espacios Montel .
5. Espacios duales fuertes de espacios de Montel (ya que son necesariamente espacios de Montel).
6. Un espacio cuasi-barrilado localmente convexo que también es un espacio σ-barrilado . ^[10]
7. Un espacio cuasibarrilado secuencialmente completo .
8. Un espacio infrabarrelizado localmente convexo de Hausdorff cuasi completo . ^[2]
   • Un TVS se denomina cuasicompleto si cada subconjunto cerrado y acotado es completo.
9. Un TVS con un subespacio vectorial de barril denso. ^[2]
   • De esta manera la terminación de un espacio en forma de barril queda en forma de barril.
10. Un TVS localmente convexo de Hausdorff con un subespacio vectorial infrabarrilado denso . ^[2]
    • Por lo tanto, la terminación de un espacio localmente convexo de Hausdorff infrabarrilado es en barril. ^[2]
11. Un subespacio vectorial de un espacio en forma de barril que tiene codimensionalidad contable. ^[2]
    • En particular, un subespacio vectorial codimensional finito de un espacio en barril es en barril.
12. Un TVS ultrabarelado localmente convexo. ^[11]
13. Un TVS localmente convexo de Hausdorff tal que cada subconjunto débilmente acotado de su espacio dual continuo es equicontinuo. ^[12] ${\displaystyle X}$
14. Un TVS localmente convexo tal que para cada espacio de Banach una función lineal cerrada de en es necesariamente continua. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$
15. Un producto de una familia de espacios con barriles. ^[14]
16. Una suma directa localmente convexa y el límite inductivo de una familia de espacios en barril. ^[15]
17. Un cociente de un espacio en forma de barril. ^{[16] [15]}
18. Un TVS de suma acotada y cuasibarrilado secuencialmente completo de Hausdorff. ^[17]
19. Un espacio reflexivo de Hausdorff localmente convexo tiene forma de barril.

Contraejemplos

• Un espacio en barril no necesita ser Montel , completo , metrizable , desordenado tipo Baire, ni el límite inductivo de los espacios de Banach.
• No todos los espacios normados tienen barriles, pero sí son infrabarriles. ^[2]
• Un subespacio cerrado de un espacio con barril no es necesariamente contablemente cuasi-con barril (y por lo tanto no necesariamente con barril). ^[18]
• Existe un subespacio vectorial denso del espacio de barril de Fréchet que no está abarrilado. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• Existen TVS localmente convexos completos que no tienen cañón. ^[2]
• La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial de dimensión infinita es un espacio de barril de Hausdorff que es un subconjunto exiguo de sí mismo (y por lo tanto no es un espacio de Baire ). ^[2]

Propiedades de los espacios entubados

Generalización de Banach-Steinhaus

La importancia de los espacios entubados se debe principalmente a los siguientes resultados.

Teorema ^[19]  —  Sea un TVS con barril y un TVS localmente convexo. Sea un subconjunto del espacio de funciones lineales continuas de en . Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$está acotado por la topología de convergencia puntual;
2. ${\displaystyle H}$está acotado por la topología de convergencia acotada;
3. ${\displaystyle H}$es equicontinuo .

El teorema de Banach-Steinhaus es un corolario del resultado anterior. ^[20] Cuando el espacio vectorial consiste en números complejos, entonces también se cumple la siguiente generalización. ${\displaystyle Y}$

Teorema ^[21]  —  Si es un TVS de barril sobre los números complejos y es un subconjunto del espacio dual continuo de , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle H}$está débilmente delimitado;
2. ${\displaystyle H}$está fuertemente delimitado;
3. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
4. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología dual débil.

Recuerde que un mapa lineal se llama cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Teorema de grafos cerrados ^[22]  —  Todo operador lineal cerrado desde un TVS con cañón de Hausdorff hasta un TVS metrizable completo es continuo.

Otras propiedades

• Todo espacio de barril de Hausdorff es cuasi-de barril . ^[23]
• Una función lineal de un espacio con forma de barril a un espacio localmente convexo es casi continua.
• Una función lineal de un espacio localmente convexo a un espacio en barril es casi abierta .
• Un mapa bilineal continuo por separado de un producto de espacios en barril en un espacio localmente convexo es hipocontinuo . ^[24]
• Un mapa lineal con un gráfico cerrado desde un TVS con barril a un TVS -completo es necesariamente continuo. ^[13] ${\displaystyle B_{r}}$

Véase también

• Conjunto de cañón
• Espacio con barriles numerables
• Espacio distinguido  – TVS cuyo fuerte dual está acorralado
• Espacio cuasibarrilado
• Espacio ultrabarrilado
• Principio de acotación uniforme#Generalizaciones  – Teorema que establece que la acotación puntual implica acotación uniforme
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
3. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 39.
4. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 43.
5. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 32.
6. Schaefer & Wolff 1999, págs. 127, 141Trèves 2006, pág. 350.
7. Narici y Beckenstein 2011, pág. 477.
8. Narici y Beckenstein 2011, pág. 399.
9. Narici y Beckenstein 2011, pág. 383.
10. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 418–419.
12. Trèves 2006, pág. 350.
13. Schaefer & Wolff 1999, pág. 166.
14. Schaefer y Wolff 1999, pág. 138.
15. Schaefer & Wolff 1999, pág. 61.
16. Trèves 2006, pág. 346.
17. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 77.
18. Schaefer y Wolff 1999, págs. 103-110.
19. Trèves 2006, pág. 347.
20. Trèves 2006, pág. 348.
21. Trèves 2006, pág. 349.
22. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 41.
23. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.
24. Trèves 2006, pág. 424.

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