Conjunto de cañón

En el análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina barril o conjunto en barril si es cerrado, convexo, equilibrado y absorbente .

Los conjuntos en barril desempeñan un papel importante en las definiciones de varias clases de espacios vectoriales topológicos, como los espacios en barril .

Definiciones

Sea un espacio vectorial topológico (TVS). Un subconjunto de se llama barril si es cerrado, convexo, equilibrado y absorbente en Un subconjunto de se llama bornívoro ^[1] y un bornívoro si absorbe cada subconjunto acotado de Cada subconjunto bornívoro de es necesariamente un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Sea un subconjunto de un espacio vectorial topológico Si es un subconjunto absorbente balanceado de y si existe una secuencia de subconjuntos absorbentes balanceados de tal que para todo entonces se llama suprabarril ^[2] en donde además, se dice que es un(a): ${\displaystyle B_{0}\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B_{0}}$

• suprabarril bornívoro si además cada es un subconjunto cerrado y bornívoro de para cada ^[2] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$
• ultrabarrel si además cada es un subconjunto cerrado de para cada ^[2] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$
• ultrabarril bornívoro si además cada uno es un subconjunto cerrado y bornívoro de para cada ^[2] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$

En este caso, se denomina secuencia definitoria para ^[2] ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B_{0}.}$

Propiedades

Téngase en cuenta que cada ultrabarril bornívoro es un ultrabarril y que cada suprabarril bornívoro es un suprabarril.

Ejemplos

• En un espacio vectorial semi-normado, la bola unitaria cerrada es un barril.
• Todo espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base de vecindad que consiste en conjuntos en barril, aunque el espacio en sí no necesita ser un espacio en barril.

Véase también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabarrilado

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
2. Khaleelulla 1982, pag. 65.

Bibliografía

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• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• HH Schaefer (1970). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 3. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-05380-8.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 936. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag . Págs. 29-33, 49, 104. ISBN. 9783540115656.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El contexto conveniente del análisis global . Encuestas y monografías matemáticas. Sociedad matemática estadounidense . ISBN 9780821807804.