Proyección vectorial
La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial) de un vector a sobre (o respecto a) un vector b distinto de cero, a veces denotado como
es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b, y b̂ es el vector unitario en la dirección de b.
A su vez, la proyección escalar se define como:[1] donde el operador ⋅ denota un producto escalar, ‖a‖ es la longitud de a y θ es el ángulo entre a y b.
La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b, es decir, si los dos vectores se encuentran en semiespacios diferentes, o si las direcciones de ambos se encuentran en diferentes hemisferios.
La proyección vectorial se puede reescribir en términos únicamente de los vectores de entrada como: El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicular a b, a veces también llamado vector resto (traducción aproximada del término inglés "vector rejection") de a de b (denotado
Como tanto la proyección a1 como el resto a2 de un vector a son vectores y su suma es igual a a, esto implica que el resto viene dado por:
Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, a1) y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (por ejemplo, a1).
En algunos casos, especialmente en escritura a mano, la proyección vectorial también se indica usando un signo diacrítico encima o debajo de la letra (por ejemplo,
La proyección vectorial de a sobre b y el resto correspondiente a veces se denotan por a∥b y a⊥b, respectivamente.
es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y
es el vector unitario con la misma dirección que b: Por definición, el vector resto de a sobre b es: y por lo tanto: Cuando no se conoce θ, el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b, mediante la siguiente propiedad del producto escalar a ⋅ b Según la propiedad del producto escalar mencionada anteriormente, la definición de proyección escalar queda como:[1] En dos dimensiones, esto se convierte en De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en:[1] que es equivalente a cualquiera de las dos expresiones siguientes: o[3] En dos dimensiones, el resto escalar es equivalente a la proyección de a sobre
[4] Por definición, Por eso, La proyección escalar de a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados.
Coincide con la longitud ‖c‖ de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°.
Más exactamente: La proyección vectorial de a sobre b es un vector a1 que es nulo o paralelo a b.
Más exactamente: El vector resto de a en b es un vector a2 que es nulo u ortogonal a b.
Cuando no coinciden, se utiliza el producto interior en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y resto.
El resto de un vector respecto a un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal al plano dado.
Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y resto es igual al vector original.
En álgebra geométrica, se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y resto de un multivector general hacia/desde cualquier k-lámina invertible.
