Prueba t de Student
En estadística, una prueba t de Student o Test-T es cualquier prueba en la que el estadístico utilizado tiene una distribución t de Student si la hipótesis nula es cierta.
Se aplica cuando la población estudiada sigue una distribución normal, pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para que el estadístico en el que está basada la inferencia esté normalmente distribuido, utilizándose una estimación de la desviación típica en lugar del valor real.
El estadístico t fue introducido por William Sealy Gosset en 1908, un químico que trabajaba para la cervecería Guinness de Dublín.
Publicó su test en la revista inglesa Biometrika en el año 1908, pero fue forzado a utilizar un seudónimo por su empleador, para mantener en secreto los procesos industriales que se estaban utilizando en la producción.
, donde Z y s son funciones de los datos estudiados.
Típicamente, Z se diseña de forma tal que resulte sensible a la hipótesis alternativa (p.ej.
Las suposiciones subyacentes en una prueba t son: En una prueba t específica, estas condiciones son consecuencias de la población que está siendo estudiada, y de la forma en que los datos han sido muestreados.
Las pruebas t pareadas son una forma de bloqueo estadístico, y poseen un mayor poder estadístico que las pruebas no apareadas cuando las unidades apareadas son similares con respecto a los "factores de ruido" que son independientes de la pertenencia a los dos grupos que se comparan.
Por ejemplo, supóngase que estamos evaluando el efecto de un tratamiento médico, y reclutamos a 100 sujetos para el estudio.
En este caso, obtenemos dos muestras independientes y podríamos utilizar la forma desapareada de la prueba t. La elección aleatoria no es esencial en este caso, si contactamos a 100 personas por teléfono y obtenemos la edad y género de cada una, y luego se utiliza una prueba t bimuestral para ver en que forma la media de edades difiere por género, esto también sería una prueba t de muestras independientes, a pesar de que los datos son observacionales.
Las expresiones explícitas que pueden ser utilizadas para obtener varias pruebas t se dan a continuación.
En cada caso, se muestra la fórmula para una prueba estadística que o bien siga exactamente o aproxime a una distribución t de Student bajo la hipótesis nula.
Además, se dan los apropiados grados de libertad en cada caso.
Si el valor p calculado es menor al límite elegido por significancia estadística (usualmente a niveles de significancia 0,10; 0,05 o 0,01), entonces la hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa.
Los grados de libertad utilizados en esta prueba se corresponden al valor n − 1.
Supóngase que se está ajustando el modelo: donde xi, i = 1, ..., n son conocidos, α y β son desconocidos, y εi es el error aleatorio en los residuales que se encuentra normalmente distribuido, con un valor esperado 0 y una varianza desconocida σ2, e Yi, i = 1, ..., n son las observaciones.
Se desea probar la hipótesis nula de que la pendiente β es igual a algún valor especificado β0 (a menudo toma el valor 0, en cuyo caso la hipótesis es que x e y no están relacionados).
Luego tiene una distribución t con n − 2 grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera.
El estadístico t si las medias son diferentes puede ser calculado como sigue: Donde Nótese que las fórmulas de arriba, son generalizaciones del caso que se da cuando ambas muestras poseen igual tamaño (sustituyendo n por n1 y n2).
Esta prueba es también conocida como prueba t de Welch y es utilizada únicamente cuando se puede asumir que las dos varianzas poblacionales son diferentes (los tamaños muestrales pueden o no ser iguales) y por lo tanto deben ser estimadas por separado.
La media (XD) y la desviación estándar (sD) de tales diferencias se han utilizado en la ecuación.
Si se sigue el enfoque para varianzas iguales (discutido anteriormente), los resultados son y Ya que el tamaño de las muestras es igual (ambas tienen 6 elementos), el resultado de la prueba estadística es nuevamente un valor que se aproxima a 1,959.
La prueba t provee un mecanismo exacto para evaluar la igualdad entre las medias de dos poblaciones que tengan varianzas iguales, aunque el valor exacto de las mismas sea desconocido.
El test de Welch es una prueba aproximadamente exacta para el caso en que los datos poseen una distribución normal, pero las varianzas son diferentes.
[9] Para ser exactos tanto las pruebas t como las z requiere que las medias de las muestras sigan una distribución normal, y la prueba t adicionalmente requiere que la varianza de las muestras siga una distribución Chi-cuadrado (χ2), y que la media muestral y la varianza muestral sean estadísticamente independientes.
Si los datos son substancialmente no normales, y el tamaño muestral es pequeño, la prueba t puede entregar resultados equivocados.
Para una discusión sobre cuando hacer una elección entre las alternativas t y no paramétricos, consulte a Sawilowsky.
Debido a que las medidas de este tipo suelen estar muy correlacionadas, no es aconsejable llevar a cabo varias pruebas univariadas, ya que esto supondría descuidar la covarianza entre las medidas e inflar la probabilidad de rechazar falsamente al menos una hipótesis (error de tipo I).
El estadístico t de Hosteling sigue una distribución T 2, sin embargo, en la práctica, esta distribución se utiliza muy raramente, y en cambio se suele convertir en una distribución de tipo F. Para una prueba multivariable de única muestra, la hipótesis es que el vector medio (
Para un test multivariable de dos muestras, la hipótesis es que los vectores medios (
