Teorema de Hales–Jewett

Ahora demostramos el teorema de Hales-Jewett en el caso especial n = 3, c = 2, H = 8 discutido anteriormente.

La idea es reducir esta tarea a la de probar versiones más simples del teorema de Hales-Jewett (en este caso particular, a los casos n = 2, c = 2, H = 2 yn = 2, c = 6, H = 6).

Se puede probar el caso general del teorema de Hales-Jewett por métodos similares, usando inducción matemática.

Estamos asumiendo que este hipercubo está completamente lleno de "ceros" y "cruces".

(Si un elemento abcdef obedece a múltiples posibilidades, podemos elegir una arbitrariamente, por ejemplo, eligiendo la más alta de la lista anterior).

Según el principio del casillero, dos de estos elementos deben pertenecer a la misma clase.

Dado que tenemos una contradicción en todos los casos, la hipótesis original debe ser falsa; por tanto, debe existir al menos una línea combinatoria que consista enteramente en ceros o enteramente en cruces.

El argumento anterior fue algo inútil; de hecho, el mismo teorema es válido para H = 4.

En esta versión reforzada del teorema de Hales-Jewett, en lugar de colorear todo el hipercubo WnH en c colores, se le da un subconjunto arbitrario A del hipercubo WnH con una densidad dada 0 < δ < 1.

El teorema establece que si H es suficientemente grande dependiendo de n y δ, entonces el conjunto A debe contener necesariamente una línea combinatoria completa.