En combinatoria aritmética, el teorema de las esquinas declara que para cada
suficientemente grande, cualquier conjunto con al menos
contiene una esquina, es decir una terna de puntos de la forma
Fue probado primero por Miklós Ajtai y Endre Szemerédi en 1974 utilizando el Teorema de Szemerédi.
[1] En 2003, József Solymosi dio una prueba corta utilizando el lema de extracción del triángulo.
[2] Definimos una esquina como un subconjunto de
, existe un entero positivo
Lo que sigue es un esbozo del argumento de Solymosi.
es un conjunto libre de esquinas.
Construir un grafo auxiliar tripartito
corresponde a la línea
corresponde a la línea
corresponde a la línea
Conectamos dos vértices si la intersección de sus líneas correspondientes se encuentra en
Notemos que un triángulo en
corresponde a una esquina en
, exceptuando el caso trivial donde las líneas que corresponden a los vértices del triángulo concur en un punto en
Sigue que cada arista de
se encuentra en exactamente un triángulo, por lo tanto, por el lema de extracción del triángulo,
la medida del subconjunto más grande de
tal que no contiene ninguna esquina.
Las mejores cuotas conocidas son donde
La cuota más baja fue demostrada por Green, construyendo a partir del trabajo de Linial y Shraibman[3].
La cuota superior fue demostrada por Shkredov.
La extensión natural del teorema de esquinas a esta situación general puede ser mostrada utilizando el lema de extracción de hipergrafo, en el espíritu de la prueba de Solymosi.
El lema de extracción de hieprgrafo fue mostrado independientemente por Gowers[5] y Nagle, Rödl, Schacht y Skokan[6].
El teorema multidimensional de Szemerédi declara que para cualquier subconjunto finito fijo
contiene un subconjunto de la forma
Este teorema sigue del teorema de esquinas multidimensional mediante un argumento de proyección sencillo[5].
En particular, el teorema de Roth sigue directamente del teorema de esquinas normal.