En análisis matemático, el teorema de Dini afirma que si una sucesión monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y la función límite es también continua, la convergencia es uniforme.
es un espacio topológico compacto, y
es una sucesión monótonamente creciente (esto es,
) de funciones reales continuas en
que converge puntualmente a una función continua
, entonces la convergencia es uniforme.
La misma afirmación se cumple si
es monótonamente decreciente en lugar de creciente.
El teorema recibe su nombre por Ulisse Dini.
[2] Este es uno de los pocos casos en matemáticas donde la convergencia puntual implica convergencia uniforme.
La clave del resultado es el mayor control que implica la monotonía.
Nótese también que la función límite ha de ser continua, ya que el límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo.
, y sea
( x ) < ϵ
es continua, y por tanto cada
es abierto (ya que cada
es la preimagen de un conjunto abierto bajo
, una función continua no negativa).
es monótonamente creciente,
es monótonamente decreciente, por lo que la sucesión
converge puntualmente a
, se sigue que la colección
es un recubrimiento abierto de
Por compacidad, existe un subrecubrimiento finito, y dado que los
son ascendentes el mayor de estos es también un recubrimiento.
Por tanto, obtenemos que existe un entero no negativo
f ( x ) −
, como se buscaba demostrar.