Teorema de Cauchy-Kovalévskaya

Este teorema trata sobre la existencia de soluciones en un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas.El teorema y su demostración son válidos para funciones analíticas de variables tanto reales como complejas.Sea K el cuerpo de los números reales (o complejos), y sean V = K m y W = K n. Sean A1, ...., An −1 funciones analíticas definidas en una cierta vecindad de (0, 0) en W × V que toman valores en las matrices m × m, y sea b una función analítica con valores en V definida en la misma vecindad.Entonces, existe una vecindad de 0 en W en la que el problema de Cauchy cuasi-lineal con condiciones iniciales en la hipersuperficie tiene una solución analítica única ƒ : W → V cerca de 0.El ejemplo de Lewy (Lewy's example) demuestra que el teorema no es válido en general para toda función suave (las funciones deben ser analíticas).El teorema también puede ser enunciado en espacios vectoriales abstractos (ya sean reales o complejos).Sean V y W espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita, con n = dim W. Sean A1, ..., An −1 funciones analíticas con valores en End(V) (el conjunto de todos los endomorfismos de V) y sea b una función analítica con valores en V, definida en cierto vecindario de (0, 0) en W × V.En ese caso, el mismo resultado se cumple.Si F y fj son funciones analíticas cerca de 0, entonces el problema de Cauchy no lineal con condiciones iniciales tiene una solución analítica única cerca de 0.La ecuación del calor con la condición tiene una única solución en forma de serie de potencias (expandida en torno al origen (0, 0)).Sin embargo, esta serie de potencias formal no converge para cualquier valor de t distinto de cero, por lo que no existe solución analítica en una vecindad del origen.Esto demuestra que la condición |α| + j ≤ k no puede relajarse.(Este ejemplo es atribuido a Kovalévskaya.)Existe una amplia generalización del teorema de Cauchy-Kovalévskaya para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes analíticos, el teorema de Cauchy-Kovalévskaya-Kashiwara, derivado por Masaki Kashiwara en 1983.Este teorema implica una formulación cohomológica, presentada en lenguaje de D-módulos.si y sólo si se verifican las condiciones de compatibilidadPara tener una solución única, debe incluirse una condición inicial