Paradoja de Arrow
El artículo original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, fue publicado en The Journal of Political Economy,[1] en agosto de 1950.
En el campo microeconómico se estudia el comportamiento de los agentes económicos individuales suponiendo que son racionales.
Por racionalidad se quiere decir que las preferencias que de los agentes tienen son transitivas, completas y reflexivas.
Podemos decir que las preferencias son transitivas cuando, si la situación
; esta característica de la relación de preferencia permite establecer un orden preferencial en las diferentes alternativas que se nos presentan.
El problema se plantea cuando pasamos del nivel de las preferencias individuales a las preferencias o decisiones sociales, esto es, cuando intentamos construir una regla que permita establecer un orden entre las distintas alternativas, no ya a nivel individuo, sino a nivel social (grupal).
En esta situación ¿cuál es la escala de preferencia del conjunto?
En este supuesto, los órdenes de preferencias individuales son:
(por transitividad) Así, mediante la regla de la mayoría, tendríamos las siguientes preferencias del conjunto: 1)
¿Es posible una función que agregue todas las preferencias individuales y cumpla un mínimo de condiciones que podamos considerar como democráticas?
Arrow condiciona la regla de agregación no sólo a criterios racionales (transitividad, completitud, reflexividad), sino también a dos criterios que podemos denominar "democráticos": el principio de no-dictadura (no existen individuos que determinen la ordenación de las preferencias sociales con independencia de las preferencias del resto) y el principio de no-imposición (la ordenación de las preferencias sociales depende de las ordenaciones individuales y no se impone por otros criterios, como pueden ser la tradición o el azar).
El resultado del Teorema de Arrow concluye que no existe ninguna regla de agregación de preferencias que tenga tales propiedades normativas deseables (que la agregación resulte en preferencias racionales, que la regla y los resultados sean válidos para cualquier configuración de preferencias, que no vayan contra la unanimidad y que la preferencia social entre dos alternativas sea independiente de la existencia o no de terceras alternativas), a no ser que las preferencias sean el fiel reflejo de las preferencias de algún individuo, denominado "dictador".
Cada individuo en la sociedad tiene su propio orden de preferencia personal y el problema es encontrar un mecanismo general (una regla de elección social) que transforme el conjunto de los órdenes de preferencia individuales en un orden de preferencia para toda la sociedad, el cual debe satisfacer varias propiedades deseables: El teorema de Arrow dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una regla de elección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones.
Para demostrarlo tomaremos como ciertos los axiomas y veremos que hay un votante decisivo que es un dictador (contradicción con el axioma 3).
de votantes se dice decisivo para la alternativa
es elegido siempre que todo votante de
Veamos el caso de que tiene al menos dos votantes.
es decisivo para alguna elección, llegando así a contradicción con que
Pero si vemos las votaciones el único que ha votado
Demostración: Paso II (este votante decisivo es un dictador)Sea
y sin importar el resto de los votos.
Llegados a este punto debemos demostra un lema que nos será útil.
, y supongamos que el resto prefiere a
La prueba de 1 viene directamente del lema con
Sin embargo, esta frase es incorrecta o, en el mejor de los casos, imprecisa, ya que haría falta clarificar qué se entiende por un mecanismo de voto justo.
Aunque el propio Arrow emplea el término "justo" para referirse a sus criterios, no es en absoluto evidente que así sea.
El teorema de imposibilidad de Arrow parte de una situación muy curiosa y es la siguiente: si enfrentamos las tres alternativas simultáneamente al voto social tendríamos un triple empate a un voto, puesto que el agente A votaría la opción X, B la Y y C la Z. Es más, si observamos detenidamente, cada una de las tres votaciones en las que hay que votar entre dos alternativas, obtenemos un triple empate a dos votos, esto es: como muy bien se expone más arriba, entre X e Y tenemos que X obtenía dos votos de A y C frente a Y con el voto de B ( apartado 1), en el apartado (2) ganaba Y frente a Z y en el 3) ganaba Z frente a X con otros dos votos.
Cuando se enfrentan alternativas dos a dos se vuelve a mostrar que no hay posibilidad lógica de elegir, de hecho, la contradicción que se obtiene es indicativa de esa imposibilidad (que X es preferida a Z indirectamente y que Z era preferida a X en la votación directa).
Estamos buscando un sistema de decisión social partiendo de una situación en la cual ya existe en sí misma una imposibilidad de elegir en las condiciones formuladas a posteriori, dado el empate a tres inicialmente y los empates posteriores a dos votos.
Pero podemos ir más allá, dado que las preferencias individuales y por extensión las funciones de utilidad ordinales de cada individuo son incomparables entre sí y por ello tampoco se pueden agregar objetivamente el teorema de Arrow es una consecuencia lógica del modelo de partida.
