[1]​ Greenhut estudió música en la University of Miami.

Comenzó su carrera cinematográfica como ayudante de producción en la comedia de Arthur Hiller The Tiger Makes Out.

Empezó a trabajar conWoody Allen en La tapadera de 1976.

Greenhut trabajó como productor ejecutivo de Annie Hall y estuvo asociado con el director hasta Todos dicen I Love You en 1996.

Greenhut también trabajó con Mike Nichols en películas como Se acabó el pastel (1986), Armas de mujer (1988), Postales desde el filo (1990), A propósito de Henry (1991) y Lobo (1994).