Recta de Filón
En geometría, la recta de Filón se construye a partir de un ángulo y de un punto situado en su interior, y se define como el segmento más corto que pasa por el punto y que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo.
Lleva el nombre de Filón de Bizancio, un tratadista griego que escribió sobre dispositivos mecánicos, y que vivió probablemente durante el siglo I o II a. C. Usó la recta que lleva su nombre para calcular la duplicación del cubo.
[1][2] Es sabido que no se puede duplicar el cubo exclusivamente con regla y compás, ni tampoco construir la recta de Filón.
[1][3] El punto de definición de una recta de Filón, y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la recta, son equidistantes a los puntos finales del segmento abarcado por el ángulo.
Es decir, supóngase que el segmento
son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento rectilíneo
es cualquier punto de la recta que pasa por
es la recta de Filón del ángulo
[1] La recta de Filón se puede usar para duplicar un cubo, es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Filón al definirla.
un rectángulo cuya relación de aspecto
la recta de Filón del punto
con respecto al ángulo recto
y de la circunferencia que pasa por los puntos
Debido a que el triángulo
como diámetro, es un triángulo rectángulo y
es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo hasta la recta de Filón.
cruza una línea perpendicular a través de
La semejanza de los triángulos rectángulos
se deduce a partir de la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos.
La combinación de estas igualdades y relaciones de semejanza permite obtener la igualdad de proporciones
o más concisamente
Dado que el primer y último término de estas tres proporciones iguales están en la razón
, las proporciones en sí deben ser todas
, la proporción que se requiere para duplicar el cubo.
[4] Sabiendo que es imposible duplicar el cubo solo con regla y compás, es igualmente imposible construir la recta de Filón con estas herramientas.
