Teorema de factorización de Weierstrass

En matemática, concretamente en análisis complejo, el teorema de factorización de Weierstrass, llamado así en honor a Karl Weierstrass, asegura que las funciones enteras pueden ser representadas mediante un producto que envuelve sus ceros.Además, cualquier sucesión que tienda al infinito tiene asociada una función entera con ceros precisamente en los puntos de esa sucesión.Una segunda forma extendida a funciones meromorfas permite considerar una función meromorfa dada como un producto de tres factores: los polos, los ceros, y una función holomorfa asociada distinta de cero.Las consecuencias del teorema fundamental del álgebra son dobles.[1]​ La primera de ellas, cualquier sucesión finitaen el plano complejo tiene asociado un polinomio que tiene ceros precisamente en los puntos de esa sucesión,La segunda de ellas, cualquier función polinómicaes el plano complejo tiene una factorizacióndonde a es una constante distinta de cero y cn son los ceros de p. Las dos formas del teorema de factorización de Weierstrass pueden ser pensadas como extensiones superiores de las funciones enteras.La necesidad de un mecanismo extra se demuestra cuando se considera el productoEsto nunca puede definir una función entera, porque el producto infinito no converge.Así que, en general, no se puede definir una función entera de una sucesión de ceros preestablecidos o representar una función entera mediante sus ceros usando las expresiones dadas mediante el teorema fundamental del álgebra.Una condición necesaria para la convergencia de un producto infinito en cuestión es que, cada factorAsí que, parece lógico que se deba buscar una función que podría ser 0 en el punto preestablecido y sin embargo, permanecer próximo a 1 cuando no se encuentre en ese punto, además de no introducir más ceros de los establecidos.Esto se define con los factores elementales de Weierstrass.También se les conoce como factores primarios., se definen los factores elementales como:[3]​ Su utilidad radica en el siguiente lema:[3]​ Lema (15.8, Rudin) para |z| ≤ 1, n ∈ No A veces llamado como teorema de Weierstrass.una sucesión de números complejos distintos de cero tales quees cualquier sucesión de enteros tales que para todo, entonces la función es entera con ceros únicamente en los puntosse produce en la sucesiónexactamente m veces, entonces la función f tiene un cero ende multiplicidad m. A veces llamado como Teorema del producto/factor de Weierstrass.los ceros distintos de 0 de ƒ, repetidos acorde con su multiplicidad; supóngase también que ƒ tiene un cero en z = 0 de orden m ≥ 0 (un cero de orden m = 0 en z = 0 significa que ƒ(0) ≠ 0).Entonces existe una función entera g y una sucesión de enterostales que Si ƒ es una función finita con un orden ρ, entonces ésta admite una factorización donde g(z) es un polinomio de grado q, y q ≤ ρ.