El primer cliente se sienta en una mesa no ocupada con probabilidad 1.
En el paso (n+1)-ésimo un nuevo cliente escoge donde sentarse de acuerdo con un proceso aleatorio que consiste en escoger una silla entre n+1 disponibles: o bien directamente a la izquierda de uno de los n clientes ya sentados, o bien en una mesa no ocupada.
Después de n pasos, el valor del proceso estocástico del restaurante chino es una partición del conjunto de n clientes, donde las mesas son los bloques de la partición.
Este problema tiene interés matemático, y algunas aplicaciones, y se ha estudiado la distribución de probabilidad de las posibles particiones tras n pasos.
David J. Aldous atribuye la analogía del restaurante chino para este proceso a Jim Pitman y Lester Dubins en su libro de 1983.
[1] Para cualquier tiempo n (siendo n un entero positivo) el valor del proceso es una partición Bn del conjunto {1, 2, 3, ..., n}, cuya distribución de probabilidad se determina como sigue.
En el instante n = 1, se obtiene la partición trivial { {1} } con probabilidad 1.
En el instante n + 1 el elemento n + 1 o bien: La partición aleatoria así generada tiene algunas propiedades especiales.
La probabilidad asingada a una partición particular (ignorando el orden en el que los clientes se sientan alrededor de una mesa particular) viene dado por:
Esta construcción anterior puede generalizarse a un modelo con dos parámetros adicionales, α y θ,[2][3] comúnmente llamados parámetros de descuento y de fortaleza (o de concentración).
En el instante n + 1, el siguiente cliente en llegar encuentra |B| mesas ocupadas y cedide sentarse en una mesa vacía con probabilidad
o en una mesa ocupada b de tamaño |b| con probabilidad
Para que la construcción defina una medida de probabilidad válida es necesario suponer que o bien α < 0 y θ = - Lα para algún L ∈ {1, 2, ...}; o bien que 0 ≤ α < 1 y θ > −α.
Bajo este modelo la probabilidad asignada a una partición particular B de n, en términos del símbolo de Pochhammer, es
es cero, esta expresión se simplifica a:
Como antes, la probabilidad asignada a una partición particular depende solamente de los tamaños de los bloques, así que como antes la partición aleatoria es intercambiable en el sentido explicado anteriormente.
La propiedad de consistencia también sigue siendo cierta, como antes, por construcción.
Sea Ci el bloque aleatorio en el que se añade al cliente i-ésimo, para i = 1, 2, 3, ... .
donde δ es la función indicatriz, es decir, δ(A) = 1 or 0 según el evento A ocurra o no ocurra.
La probabilida de que Bn sea una partición particular del conjunto { 1, ..., n } es el producot de estas probabilidades según i varía entre 1 y n. Ahora considérese el tamaño del bloque b: este se incrementa en 1 cada vez que se añade un elemento a él.
Al final, el bloque b tiene 4 elements y el producto de los numeradores en la ecuación anterior da θ · 1 · 2 · 3.
Siguiendo esta lógica, se obtiene Pr(Bn = B) como antes.
Para el caso uniparamétrico, con α = 0 y 0 < θ < ∞, el número esperado de mesas, dad que existen
Es posible adaptar el modelo de manera que cada paso no esté unívocamente asociado con una clase ( i.e.
ya no se está construyendo una partición), pero que pueda ser asociado con una combinación de clases.
En la analogía de los restaurantes, este proceso puede ser entendido como una sucesión aleatoria de comidas servidas a partir de una carta con infinitos platos ofrecidos por un bufé.
La probabilidad de que una comida particular esté asociada a un plato es proporcional a la popularidad del plato entre los clientes, y además cada nueva comida pueda ser tomada de comidas que todavía nadie se ha servido.
Este proceso más complejo se ha denominado proceso estocástico del buffet indio y puede ser usado para inferir ciertas características latentes en los datos.
[5] El proceso estocástico del restaurante chino está estrechamente relacionado con el proceso de Dirichlet y el esquema de la urna de Pólya y, por tanto, es útil en las aplicaciones de los métodos bayesianos no paramétricos.
Los procesos generalizados del restauranete chino por otra parte están estrechamente relacionados con el proceso de Pitman–Yor.