Problema de la partida interrumpida
Se trata de un problema famoso, que motivó el inicio de la teoría de la probabilidad moderna en el siglo XVII, y que llevó al matemático francés Blaise Pascal a realizar el primer razonamiento explícito sobre lo que se conoce como un valor esperado.
Tácitamente parece que la división tendría que depender de alguna manera del número de rondas ganado por cada jugador, de forma que si un jugador estuviese más próximo a ganar, debería llevarse una parte más grande del premio.
Su método fue dividir las apuestas en proporción al número de rondas ganadas por cada jugador, pero el número de rondas necesarias para ganar no afectaba a sus cálculos en absoluto.
[2] A mediados del siglo XVI Niccolò Tartaglia señaló que el método de Pacioli llevaba a resultados contraintuitivos si el juego es interrumpido cuando solo se ha jugado una ronda.
Tartaglia ideó un método que evita este problema particular basando la división del premio en la proporción entre la medida de la ventaja y la longitud del juego.
El propio Tartaglia no estaba seguro de si el problema era resoluble de una manera justa que convencería a ambos jugadores: "hágase como se haga la división, habrá motivos para una disputa".
A través de esta discusión, Pascal y Fermat no solo proporcionaron una solución convincente y coherente para este problema, sino que también desarrollaron conceptos que aún son fundamentales para la teoría de la probabilidad.
En otras palabras, lo importante no es la cantidad de rondas que cada jugador haya ganado hasta el momento, sino la cantidad de rondas que cada jugador aún necesita ganar para lograr la victoria general.
Fermat razonó así:[4] si un jugador necesita adjudicarse r rondas más para ganar, y el otro necesita s, el juego seguramente habrá sido ganado por alguien después de
rondas, pero también se puede imaginar que los jugadores continúan jugando sin ningún propósito.
Fermat consideraba que entonces era justo dividir las apuestas en proporción a esas probabilidades.
Primero, presentó un argumento más elaborado por el que la división resultante debería considerarse justa.
En segundo lugar, mostró cómo calcular la división correcta de manera más eficiente que el método tabular de Fermat, que se vuelve completamente inabordable (sin computadoras modernas) si
En lugar de solo considerar la probabilidad de ganar todo el juego restante, Pascal ideó un principio basado en pasos sucesivos más cortos: supóngase que los jugadores pudiesen jugar solo una ronda más antes de ser interrumpidos, y que ya se había decidido previamente cómo dividir las apuestas después de esa ronda adicional (posiblemente porque esa ronda le permite a uno de los jugadores ganar).
De esta manera, el conocimiento de las soluciones justas en juegos con menos rondas restantes, se puede utilizar para calcular soluciones justas para juegos con más rondas restantes.
Poco después, esta idea se convertiría en la base del primer tratado sistemático sobre probabilidad publicado por Christiaan Huygens.
Explicación: Pascal: Dado que a uno de los jugadores le falta un punto para llegar a 6, y al otro tres, el juego se acabará en un máximo de tres partidas.
Aplicación de la fórmula: en el caso anterior, se tiene que las partidas que necesitarían ganar A y B para adjudicarse el juego son respectivamente:
