Teoremas de isomorfismo

Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Su nombre se debe a la matemática alemana Emmy Noether, quien formuló estos resultados de forma general en 1927.

un homomorfismo de grupos.

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfismo se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente: donde

es la proyección canónica de

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo donde es la aplicación de proyección en el cociente, y

j : i m

Definimos Esta aplicación está bien definida, pues no depende de la elección del representante de gK.

y por tanto Además es un homomorfismo, puesto que

es uno a uno: supongamos que

y ∈ i m

Con esto queda demostrado que

[1]​ El primer teorema de isomorfismo de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

son subgrupos de un grupo

Este segundo teorema de isomorfismo se deduce del primero, pues si

, y puede demostrarse que el epimorfismo

son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo

se describe por el diagrama conmutativo siguiente: Si

son subgrupos normales de un grupo

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

son proyecciones canónicas,

es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfismo.

Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfismo, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.

es un subgrupo normal de un grupo

, entonces hay una biyección entre los subgrupos de

que contienen a

y los subgrupos de

Este teorema tiene generalizaciones para cualquier homomorfismo desde