En matemáticas, un polinomio de Hurwitz, nombrado por Adolf Hurwitz, es un polinomio cuyas raíces (ceros) están localizados en el semiplano izquierdo del plano complejo, o en el eje imaginario, esto quiere decir que la parte real de cada raíz es cero o negativa.
[1][2] Tal polinomio debe tener coeficientes que son reales positivos.
El término está a veces restringido para polinomios cuyas raíces tengan partes reales estrictamente negativas, excluyendo los ejes (ej.
Si un polinomio es de Hurwitz, puede ser determinado resolviendo la ecuación para hallar las raíces, o desde los coeficientes sin resolver la ecuación, por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.
ya que se factoriza a En general, todos los polinomios de segundo grado con coeficientes positivos son de Hurwitz.
Esto se deduce directamente desde la fórmula cuadrática: donde, si el determinante es
es menos de cero, entonces el polinomio tendrá que conjugar la parte real
Si es igual a cero, entonces habrá soluciones reales coincidentes en
Finalmente, si el determinantes es mayor a cero, entonces habrá dos soluciones reales negativas, porque
Para que un polinomio sea de Hurwitz, es necesario, pero no suficiente, que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios de segundo grado, los cuales tampoco implican suficiencia).
Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea de Hurwitz es que pase el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.