Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o punto ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo al que se le puede regular su longitud y su peso.[1]​ Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero sí es accesible a la teoría.El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad.Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud,El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso.Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para expresar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).Al tratarse de un movimiento circular, podemos proponer queno corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.)debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigueSi consideramos tan solo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec.correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es: siendo ω la velocidad angular del cuerpo suspendido, determinamos el período como sigue: Las magnitudesson dos constantes «arbitrarias» (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento.Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que estas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable.Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante.Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo.Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo).La integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucra integrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución: dondeSe observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud (T0) cuando θ > 20º.Para valores de θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan solo el primer término correctivo e, incluso, sustituir sen θ/2 por θ/2, de modo que tendremos donde θ se expresará en radianes.Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término θ2/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°.Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad.