Espacios Lp

son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue.Reciben también el nombre de espacios de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.se construye a partir del espacio vectorial{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)}, este segundo es un espacio vectorial pero no es un espacio de Banach.Si sobre este segundo espacio se define una cierta relación de equivalencia de tal manera que las clases de equivalencia (formadas por funciones iguales casi en todas partes) sí constituyen un espacio vectorial normado que es un espacio de Banach.Se define el espacio vectorial: paracomo el espacio de todas las funciones mediblesque cumplen Asimismo, se define el espaciocomo el espacio de las funciones mediblesque verifican: es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula.Una norma natural para definir en estos espacios sería: Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple, pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.Así, se define la siguiente relación de equivalencia: Se prueba que efectivamente esta es una relación de equivalencia, y se define i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relaciónes cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba queresulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido.Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.se pueden definir para funciones que toman valores en un espacio de Banach arbitrario.un espacio de medida y seaes una función escalón si existenel conjunto de funciones escalón.es Bochner medible si existe una sucesión en{\displaystyle L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)}Bochner medibles para las cuales existe un{\displaystyle L_{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)}{\displaystyle L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)}{\displaystyle \int _{\Omega }\|f\|_{B}^{p}\,dm<\infty }{\displaystyle L_{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)}Estos espacios, equipados con la norma son espacios de Banach.