Los enfrentamientos políticos y las frecuentes alteraciones del orden público obligaron a sus padres a domiciliarse varias veces por fuera de su ciudad de origen, Popayán.

Arroyo nació durante uno de estos exilios voluntarios, cuando sus padres se encontraban en Pasto.

A los siete años de edad llegó con su familia a Quito, donde completó sus estudios primarios que había iniciado en la capital del Cauca, para luego cursar literatura y filosofía en el colegio San Gabriel de la capital ecuatoriana.

[2]​ Transcurrido un tiempo retornó a Quito para adelantar estudios de derecho y ciencia política en la Universidad Central del Ecuador.

[3]​ Durante su gestión como Gobernador del Cauca debió enfrentar levantamientos indígenas en ese departamento, liderados por Manuel Quintín Lame en el primer semestre de 1916, sobre los cuales Arroyo envió numerosos telegramas, informes y oficios tanto al Ministro de Gobierno como al Presidente de la República solicitando instrucciones para repeler las revueltas,[4]​ que culminaron con el arresto del líder indígena por parte de las autoridades.

[7]​ Al año siguiente, en 1921, estuvo encargado del Ministerio de Relaciones Exteriores.

[10]​ Arroyo fue nombrado Ministro de Instrucción Pública por el presidente Pedro Nel Ospina en 1923.

Estando al frente de esa cartera se propuso traer a Colombia una misión pedagógica europea que buscaría modernizar el sistema educativo, iniciativa que causó hondas fricciones con la Iglesia puesto que la educación hasta ese momento era impartida de forma mayoritaria por las comunidades religiosas.

Las tensiones surgieron alrededor del alcance que tendrían las reformas propuestas por expertos alemanes, belgas y suizos, quienes habían señalado el atraso del sistema educativo nacional.

Así, transcurridos los aplausos, Arroyo se dirigió al rector del plantel educativo y le dijo: «Señor Rector, me retiro en señal de protesta contra la ofensa que me ha irrogado el señor Nuncio, y en mí a la autoridad civil, que represento en este acto.» Y a continuación abandonó el recinto, no sin antes espetarle al enviado papal delante de todos los presentes: «¡Ya ha llegado la hora de que usted no siga haciendo aquí lo que le dé la gana!» [12]​ El incidente causó gran conmoción entre los asistentes, que ignoraban los detalles de lo sucedido e inicialmente pensaban que la reacción de Arroyo obedecía al contenido del discurso, pues en él se criticaba a priori la llegada de la misión educativa europea y se afirmaba que la educación en Colombia gozaba de un estado saludable que hacía innecesaria la intervención de asesores extranjeros.

Tras su retiro de la vida pública se radicó por un tiempo en el municipio de Saldaña, Tolima, para dedicarse a la agricultura y la ganadería hasta 1928, año en que se trasladó a París con su familia.