Método de Frobenius
En matemáticas, el Método de Frobenius, que debe su nombre a Ferdinand Georg Frobenius, es una forma de hallar una solución expresada como serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que tenga la forma: con en un entorno reducido de un punto singular regular
El método de Frobenius permite crear una solución en serie de potencias de esa ecuación diferencial, con p(z) y q(z) analíticas en 0 o, siendo analíticas, si sus límites en 0 existen (si son finitos).
(1) se conoce como el polinomio indicial, un polinomio de grado 2 y donde r se denomina parámetro indicial.
[1] La definición general del polinomio indicial es el coeficiente de la menor potencia de z en la serie infinita.
En este caso sucede para el coeficiente r-ésimo, pero es posible para exponentes menores tal como r − 2, r − 1 o sino dependientes de la ecuación diferencial dada.
En el proceso de sincronizar todas las series de la ecuación diferencial para que empiecen con el mismo valor del índice (el cual en la expresión anterior es k = 1), que puede resultar en expresiones complicadas.
Sin embargo, hallando las raíces del polinimio indicial se pone atención en el coeficiente de la menor potencia de z. Usando esto, la expresión general del coeficiente de zk + r es Estos coeficientes deben ser cero, ya que deberían ser soluciones de la ecuación diferencial, así La solución en series con Ak de arriba, satisface Si elegimos una de las raíces del polinomio indicial con r en Ur(z), obtenemos una solución para la ecuación diferencial.
Si la diferencia entre las raíces no es entera, se tiene otra solución linealmente independiente con la otra raíz.. Para resolver Se divide por z2 para obtener la cual tiene el requisito de singularidad en z = 0.
La solución en series: Sustituyendo: De (r − 1)2 = 0 se obtiene que 1 es raíz doble.
Usando esta raíz, los coeficientes se hacen zk + r − 2 para ser cero (para que sea solución), de lo que resulta: entonces se obtiene la relación de recurrencia: Dadas algunas condiciones iniciales, con esta recurrencia, se puede obtener la solución en forma de serie de potencias.
El ejemplo anterior tiene una raíz repetida en el polinomio indicial, la cual nos permite encontrar una de las soluciones de la ecuación diferencial.
Si las raíces son repetidas o su diferencia es un número entero, la segunda solución pueden encontrarse con la ecuación:[2] Donde
es la primera solución (basada en la raíz más grande en el caso de raíces distintas, que difieren de un entero),
En el caso particular donde las raíces son coincidentes (doble) la constante
