Ingresó a la Escuela Normal de las Islas Feroe (Føroya Læraraskúli) en 1973 y se recibió en 1977.Dejó su trabajo en la enseñanza en 1990 cuando fue elegido miembro del Løgting por el Partido de la Igualdad.Eidesgaard le dio a la izquierda danesa el escaño que necesitaba para formar gobierno con su candidato el socialdemócrata Poul Nyrup Rasmussen, pero al mismo tiempo, Eidesgaard votó en contra de que el también socialdemócrata Birte Weiss ocupara la presidencia del Folketing.Eidesgaard se justificó diciendo que "Los feroeses no intervienen en el gobierno de Dinamarca.[3] Cuando Eidesgaard asumió como primer ministro, se encontró con un déficit presupuestario y un incremento de la deuda con Dinamarca.La declaración trata sobre la colaboración entre las Feroe y Dinamarca en materia de política exterior, y le otorga a las Feroe mayores atribuciones en ese campo, y abre la posibilidad de abrir embajadas en el extranjero a mediano plazo, que sustituirían a las oficinas de representación.[7] En 2006 Eidergaard buscó incluir a las Islas Feroe en la Asociación Europea de Libre Comercio.El principal contendiente de Eidesgaard durante la campaña fue el socialista Høgni Hoydal, cuyo partido ganó la mayoría relativa en la elección, mientras que el Partido de la Igualdad quedaba relegado en el cuarto sitio.Quizás el mayor logro político del segundo gobierno de Eidesgaard fue el acuerdo para llevar a cabo un referéndum constitucional para 2010.No obstante, con el eventual rompimiento de la coalición, se canceló esa posibilidad.Ese mismo día Eidesgaard asumió como nuevo ministro de finanzas.